Номер 15.45, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.45. Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC$ ($ \angle ACB = 90^\circ $). На отрезке $DC$ отметили точку $M$ так, что $CM : MD = 2 : 1$. Плоскость, проходящая через прямую $AM$ перпендикулярно плоскости $ABC$, пересекает отрезок $BC$ в точке $K$. Найдите отношение $BK : KC$.

Поскольку точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, ее проекцией на плоскость $ABC$ является центр описанной окружности этого треугольника. Для прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) центр описанной окружности — это точка $O$, середина гипотенузы $AB$. Следовательно, прямая $DO$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через прямую $AM$ и перпендикулярная плоскости $ABC$. Линией пересечения двух перпендикулярных плоскостей является проекция прямой $AM$ на плоскость $ABC$. Проекцией точки $A$ является сама точка $A$. Обозначим проекцию точки $M$ на плоскость $ABC$ как $M'$. Тогда линия пересечения плоскостей — это прямая $AM'$.

Точка $K$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и отрезку $BC$ (который лежит в плоскости $ABC$). Значит, $K$ лежит на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $AM'$. Таким образом, задача сводится к нахождению точки $K$ как пересечения прямых $AM'$ и $BC$ в плоскости $ABC$.

Определим положение точки $M'$. Точка $M$ лежит на отрезке $DC$. Ее проекция $M'$ лежит на проекции отрезка $DC$ на плоскость $ABC$, то есть на отрезке $OC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$ ($\angle DOC = 90^\circ$, так как $DO \perp OC$). Поскольку $MM'$ является проекцией, $MM' \parallel DO$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle CMM'$ и $\triangle CDO$), получаем: $\frac{CM'}{CO} = \frac{CM}{CD}$. Из условия $CM : MD = 2 : 1$ следует, что $CM = \frac{2}{3} CD$. Значит, $CM' = \frac{2}{3} CO$.

Теперь решим планиметрическую задачу. Рассмотрим треугольник $CBO$ и секущую $AM'K$. По теореме Менелая: $\frac{CK}{KB} \cdot \frac{BA}{AO} \cdot \frac{OM'}{M'C} = 1$. Рассчитаем отношения. Так как $O$ — середина $AB$, то $\frac{BA}{AO} = 2$. Так как $CM' = \frac{2}{3} CO$, то $OM' = \frac{1}{3} CO$, и $\frac{OM'}{M'C} = \frac{1/3 CO}{2/3 CO} = \frac{1}{2}$. Подставив в формулу, получаем: $\frac{CK}{KB} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, откуда $\frac{CK}{KB} = 1$. Следовательно, $CK = KB$, и искомое отношение $BK : KC$ равно $1 : 1$.

Ответ: $1 : 1$.