Номер 15.41, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.41. Основанием четырёхугольной пирамиды $MABCD$ является равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$). Плоскости $MAB$ и $MCD$ перпендикулярны плоскости основания. Точка $K$ — середина ребра $AD$. Известно, что $AD = MK$, $AB = BC$ и $AD = 2AB$. Найдите угол между плоскостями $MAD$ и $ABC$.

Для удобства введем параметр $a$. Пусть длина боковой стороны трапеции $AB = a$. Из условий задачи следует, что $BC = CD = a$, а большее основание $AD = 2AB = 2a$.

1. Анализ основания пирамиды.
Основанием является равнобокая трапеция $ABCD$. Проведем в ней высоты $BH$ и $CE$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AH$ и $ED$ равны. Четырехугольник $BCEH$ — прямоугольник, поэтому $HE = BC = a$. Длина основания $AD$ складывается из длин отрезков: $AD = AH + HE + ED = 2AH + a$. Подставим известное значение $AD=2a$ и получим $2a = 2AH + a$, откуда $AH = a/2$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем гипотенузу $AB = a$ и катет $AH = a/2$. Это означает, что $\cos(\angle DAB) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$, и, следовательно, угол при основании $\angle DAB = 60^\circ$. Аналогично, $\angle CDA = 60^\circ$.

2. Расположение вершины пирамиды.
По условию, плоскости боковых граней $(MAB)$ и $(MCD)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей, сама перпендикулярна этой третьей плоскости.
Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ не параллельны, поэтому их продолжения пересекаются в некоторой точке $P$. Треугольник $PAD$ имеет углы при основании $\angle PAD = \angle PDA = 60^\circ$, а значит, он равносторонний, и $PA = PD = AD = 2a$.
Линией пересечения плоскостей $(MAB)$ и $(MCD)$ является прямая $PM$. Таким образом, $PM$ является высотой пирамиды, опущенной на плоскость основания, т.е. $PM \perp (ABC)$.

3. Построение искомого угла.
Угол между плоскостями $(MAD)$ и $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AD$. Для его нахождения построим соответствующий линейный угол. Возьмем точку $K$ — середину ребра $AD$.
В плоскости основания $(ABC)$ проведем перпендикуляр к $AD$ из точки $K$. В равностороннем треугольнике $PAD$ медиана $PK$ является также и высотой, следовательно, $PK \perp AD$. Длину $PK$ можно найти как высоту равностороннего треугольника со стороной $2a$: $PK = \frac{(2a)\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.
В плоскости грани $(MAD)$ также проведем перпендикуляр к $AD$ из точки $K$. Рассмотрим треугольник $MAD$. Так как $P$ является проекцией вершины $M$ на плоскость основания, а отрезки $PA$ и $PD$ равны ($PA=PD=2a$), то равны и наклонные $MA$ и $MD$ (из равенства прямоугольных треугольников $\triangle MPA$ и $\triangle MPD$). Следовательно, треугольник $MAD$ равнобедренный, и его медиана $MK$ является также и высотой, то есть $MK \perp AD$.
Таким образом, линейный угол, измеряющий угол между плоскостями $(MAD)$ и $(ABC)$, — это угол $\angle MKP$.

4. Вычисление угла.
Рассмотрим треугольник $MPK$. Поскольку $PM \perp (ABC)$, а прямая $PK$ лежит в этой плоскости, то $PM \perp PK$. Это означает, что $\triangle MPK$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $P$.
В этом треугольнике нам известны катет $PK = a\sqrt{3}$ и гипотенуза $MK$, которая по условию равна $AD = 2a$.
Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\cos(\angle MKP) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{PK}{MK} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда следует, что искомый угол $\angle MKP$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.