Номер 15.35, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.35. Плоскости равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть сторона равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$ равна 2. Это не повлияет на величину искомого угла, но упростит вычисления.

Разместим заданную конфигурацию в трехмерной декартовой системе координат. Пусть общее основание $AB$ лежит на оси $Ox$, а его середина совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Тогда вершины $A$ и $B$ будут иметь координаты $A(-1, 0, 0)$ и $B(1, 0, 0)$.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 2, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$, равна $h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Поскольку эта высота лежит на оси $Oy$, координаты точки $C$ будут $C(0, \sqrt{3}, 0)$. Таким образом, плоскость $(ABC)$ — это плоскость, заданная уравнением $z=0$.

По условию, плоскость треугольника $ABD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Так как плоскость $(ABC)$ — это $Oxy$, то плоскость $(ABD)$ должна быть перпендикулярна ей, например, это может быть плоскость $Oxz$. Высота равностороннего треугольника $ABD$ из вершины $D$ к основанию $AB$ также равна $\sqrt{3}$ и будет лежать на оси $Oz$. Следовательно, координаты точки $D$ будут $D(0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(BCD)$. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Нормальный вектор к плоскости $(ABC)$, которая задается уравнением $z=0$, сонаправлен с осью $Oz$. Возьмем в качестве нормального вектора $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Чтобы найти нормальный вектор к плоскости $(BCD)$, сначала найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Используем координаты точек: $B(1, 0, 0)$, $C(0, \sqrt{3}, 0)$, $D(0, 0, \sqrt{3})$.
$\vec{BC} = C - B = (0 - 1, \sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.
$\vec{BD} = D - B = (0 - 1, 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (-1, 0, \sqrt{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BCD}$ к плоскости $(BCD)$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{n}_{BCD} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & \sqrt{3} & 0 \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot \sqrt{3} - 0) + \mathbf{k}(0 - (-1) \cdot \sqrt{3}) = (3, \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями. Он равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos\phi = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCD}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n}_{BCD}|}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCD} = (0, 0, 1) \cdot (3, \sqrt{3}, \sqrt{3}) = 0 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
$|\vec{n}_{BCD}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3 + 3} = \sqrt{15}$.
Подставляем значения в формулу для косинуса угла:
$\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{1 \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Следовательно, искомый угол $\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.