Номер 15.29, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.29. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $ABC$ и $ADC$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $B$ и $D$, если $AB = 30$ см, $BC = 40$ см.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 30$ см и $BC = 40$ см. После того как его перегнули по диагонали $AC$, мы получили два треугольника $ABC$ и $ADC$, лежащих в перпендикулярных плоскостях. Нам нужно найти расстояние между точками $B$ и $D$.

1. Сначала найдем длину диагонали $AC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle B = 90^\circ$ (угол прямоугольника). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

$AC = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Чтобы найти расстояние $BD$ в пространстве, построим вспомогательный треугольник. Опустим перпендикуляры из точек $B$ и $D$ на их общую линию пересечения $AC$.

В плоскости $(ABC)$ проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к гипотенузе $AC$. Длину этой высоты можно найти, используя метод площадей для треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $ABC$ с одной стороны равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см².

С другой стороны, та же площадь равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Приравняем эти два выражения и найдем $BH$:

$600 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot BH$

$600 = 25 \cdot BH$

$BH = \frac{600}{25} = 24$ см.

3. Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны, так как они являются частями одного и того же прямоугольника. Поэтому высота $DH$, проведенная из вершины $D$ к стороне $AC$ в треугольнике $ADC$, будет равна высоте $BH$ и будет опущена в ту же точку $H$ на диагонали $AC$.

Следовательно, $DH = BH = 24$ см.

4. По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Высота $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. Высота $DH$ лежит в плоскости $(ADC)$ и также перпендикулярна линии пересечения $AC$. Угол между прямыми $BH$ и $DH$ равен двугранному углу между плоскостями, то есть $90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BHD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. Катеты этого треугольника равны $BH = 24$ см и $DH = 24$ см. Искомое расстояние $BD$ является гипотенузой этого треугольника.

5. По теореме Пифагора для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + DH^2$

$BD^2 = 24^2 + 24^2 = 576 + 576 = 1152$

$BD = \sqrt{1152} = \sqrt{576 \cdot 2} = 24\sqrt{2}$ см.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см.