Номер 15.28, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.28. Плоскости квадратов $ABCD$ и $BEFD$ перпендикулярны, $AB = a$.

Найдите расстояние между прямыми:

1) $BE$ и $DF$;

2) $BE$ и $CD$.

По условию, ABCD и BEFD – это два квадрата, плоскости которых перпендикулярны. Сторона квадрата ABCD равна $AB = a$.

1. Определим размеры фигур. Поскольку ABCD – квадрат со стороной $a$, то $AB = BC = CD = DA = a$. Его диагональ BD можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $BD = a\sqrt{2}$.

2. Поскольку BEFD – квадрат, и BD является одной из его сторон (исходя из последовательности вершин), то все его стороны равны длине BD. Таким образом, $BE = EF = FD = DB = a\sqrt{2}$.

3. Плоскости (ABCD) и (BEFD) перпендикулярны, и их общей линией пересечения является прямая BD.

1) BE и DF

Прямые BE и DF содержат противоположные стороны квадрата BEFD. По определению квадрата, противоположные стороны параллельны. Следовательно, $BE \parallel DF$.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. В квадрате BEFD стороны BD и EF перпендикулярны сторонам BE и DF. Значит, длина отрезка BD (или EF) и есть искомое расстояние.

Длина стороны BD была найдена ранее и составляет $a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$

2) BE и CD

Прямые BE и CD являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Рассмотрим взаимное расположение прямых и плоскостей. Плоскость (BEFD) перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая BE лежит в плоскости (BEFD). В квадрате BEFD угол между смежными сторонами прямой, поэтому $BE \perp BD$.

Согласно теореме стереометрии, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и второй плоскости. В нашем случае BE лежит в (BEFD), $BE \perp BD$ (линия пересечения), и $(BEFD) \perp (ABCD)$, следовательно, прямая BE перпендикулярна плоскости (ABCD).

Так как прямая BE перпендикулярна плоскости (ABCD), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая BC лежит в плоскости (ABCD), значит $BE \perp BC$.

В то же время, в квадрате ABCD смежные стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp CD$.

Мы получили, что отрезок BC перпендикулярен обеим прямым: BE (в точке B) и CD (в точке C). Таким образом, BC является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых BE и CD.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка BC. Так как BC — это сторона квадрата ABCD, ее длина равна $a$.

Ответ: $a$