Номер 15.30, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.30. Параллелограмм $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$ так, что плоскости $ABD$ и $CBD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $A$ и $C$, если $AB = 4$ см, $BD = 5$ см, $\angle ABD = 60^\circ$.

После того, как параллелограмм $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$, мы получили два треугольника $ABD$ и $CBD$, лежащих в перпендикулярных плоскостях. Линией пересечения этих плоскостей является общая сторона $BD$. Для того чтобы найти расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, найдем проекции этих точек на линию пересечения плоскостей $BD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Проведем в нем высоту $AH$ к стороне $BD$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным. Используя данные $AB = 4$ см, $\angle ABD = 60^{\circ}$, найдем длину высоты $AH$ и отрезка $BH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABD) = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$BH = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 4 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $CD = AB = 4$ см, а сторона $CD$ параллельна $AB$. Диагональ $BD$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle CDB = \angle ABD = 60^{\circ}$.
Проведем в треугольнике $CBD$ высоту $CK$ к стороне $BD$. Треугольник $CKD$ является прямоугольным. Найдем длину высоты $CK$ и отрезка $DK$:
$CK = CD \cdot \sin(\angle CDB) = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$DK = CD \cdot \cos(\angle CDB) = 4 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

3. Точки $H$ и $K$ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из $A$ и $C$ на прямую $BD$. Найдем расстояние между этими точками на диагонали $BD$:
$HK = BD - BH - DK = 5 - 2 - 2 = 1$ см.

4. Теперь у нас есть пространственная конструкция. Отрезки $AH$ и $CK$ перпендикулярны прямой $BD$. Так как плоскости $(ABD)$ и $(CBD)$ перпендикулярны, то и отрезки $AH$ и $CK$, лежащие в этих плоскостях и перпендикулярные линии их пересечения, взаимно перпендикулярны.
Расстояние $AC$ можно найти как пространственную диагональ, используя теорему Пифагора для трех измерений: длины отрезков $AH$, $CK$ и $HK$.
$AC^2 = AH^2 + CK^2 + HK^2$

Подставим найденные значения:
$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = (4 \cdot 3) + (4 \cdot 3) + 1 = 12 + 12 + 1 = 25$.
$AC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.