Номер 15.36, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.36. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, площадь которого равна $S$. Грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания, а грани $MCD$ и $MAD$ образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные $15^\circ$ и $75^\circ$. Найдите ребро $MB$.

Поскольку грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$, то их линия пересечения, ребро $MB$, также перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $MB$ является высотой пирамиды. Обозначим длину ребра $MB$ как $h$.

Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

Угол между гранью $MCD$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол при ребре $CD$. Поскольку $BC \perp CD$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $MB \perp (ABCD)$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MC$ также перпендикулярна ребру $CD$. Следовательно, линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle MCB$. По условию, $\angle MCB = 15^\circ$.

Аналогично, угол между гранью $MAD$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол при ребре $AD$. Поскольку $AB \perp AD$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $MB \perp (ABCD)$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MA$ также перпендикулярна ребру $AD$. Следовательно, линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle MAB$. По условию, $\angle MAB = 75^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ ($\angle MBA = 90^\circ$). Из определения тангенса угла имеем:$\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}$$\tan(75^\circ) = \frac{h}{AB}$, откуда $AB = \frac{h}{\tan(75^\circ)} = h \cdot \cot(75^\circ)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ ($\angle MBC = 90^\circ$). Из определения тангенса угла имеем:$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC}$$\tan(15^\circ) = \frac{h}{BC}$, откуда $BC = \frac{h}{\tan(15^\circ)} = h \cdot \cot(15^\circ)$.

Площадь основания пирамиды, прямоугольника $ABCD$, равна $S$. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его смежных сторон: $S = AB \cdot BC$. Подставим в эту формулу найденные выражения для $AB$ и $BC$:$S = (h \cdot \cot(75^\circ)) \cdot (h \cdot \cot(15^\circ)) = h^2 \cdot \cot(75^\circ) \cdot \cot(15^\circ)$.

Используем тригонометрическое тождество $\cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$. Тогда $\cot(75^\circ) = \cot(90^\circ - 15^\circ) = \tan(15^\circ)$.Подставим это в выражение для площади:$S = h^2 \cdot \tan(15^\circ) \cdot \cot(15^\circ)$.Так как $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1$, то $\tan(15^\circ) \cdot \cot(15^\circ) = 1$.Следовательно, $S = h^2 \cdot 1$, то есть $S = h^2$.

Отсюда находим $h$: $h = \sqrt{S}$.Поскольку $MB = h$, то $MB = \sqrt{S}$.

Ответ: $MB = \sqrt{S}$.