Номер 15.40, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.40. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

Да, такая пирамида существует. Приведём доказательство этого утверждения.

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Обозначим плоскость основания как $\alpha$. Предположим, что две противоположные боковые грани, например, $(SAB)$ и $(SCD)$, перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Известно, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости $(SAB)$ и $(SCD)$ являются гранями пирамиды, они не параллельны и имеют общую вершину $S$. Следовательно, они пересекаются по некоторой прямой $l$, проходящей через точку $S$.

Исходя из приведённого выше свойства, прямая $l$ перпендикулярна плоскости основания $\alpha$, то есть $l \perp \alpha$.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $AB$ и $CD$, на которых лежат стороны основания. Эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$. Возможны два случая.

Случай 1: Прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Если $AB \parallel CD$, то линия пересечения $l$ плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$ проходит через вершину $S$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$. Таким образом, $l \parallel AB$.
С другой стороны, мы установили, что $l \perp \alpha$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, из перпендикулярности прямой $l$ и плоскости $\alpha$ следует перпендикулярность прямых $l$ и $AB$, то есть $l \perp AB$.
Мы пришли к противоречию: прямая $l$ не может быть одновременно параллельна и перпендикулярна прямой $AB$. Это означает, что данный случай невозможен. Основание такой пирамиды не может быть трапецией или параллелограммом.

Случай 2: Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются.
Пусть прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$.
Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $(SAB)$.
Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит и плоскости $(SCD)$.
Следовательно, точка $P$ принадлежит линии пересечения этих двух плоскостей, то есть прямой $l$.
Так как и вершина $S$ принадлежит прямой $l$, то линия пересечения $l$ есть прямая $SP$.
Из нашего первоначального вывода $l \perp \alpha$ следует, что $SP \perp \alpha$. Это означает, что высота пирамиды, проведённая из вершины $S$ к плоскости основания, совпадает с перпендикуляром $SP$, где $P$ — точка пересечения прямых, содержащих противоположные стороны основания $AB$ и $CD$.

Такая геометрическая конструкция является возможной. Мы можем построить искомую пирамиду. Для этого нужно:
1. Взять в качестве основания $ABCD$ четырёхугольник, у которого прямые, содержащие противоположные стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$.
2. В точке $P$ восстановить перпендикуляр к плоскости основания.
3. Выбрать на этом перпендикуляре любую точку $S$ (отличную от $P$) в качестве вершины пирамиды.

В полученной пирамиде $SABCD$ плоскость грани $(SAB)$ содержит прямую $SP$, которая перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, $(SAB) \perp (ABCD)$. Аналогично, плоскость грани $(SCD)$ также содержит прямую $SP$, и потому $(SCD) \perp (ABCD)$.
Таким образом, существование такой пирамиды доказано.

Ответ: Да, существует.