Номер 15.46, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.46. Перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Катет $AC$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а гипотенуза $AB$ — плоскости $\beta$. Расстояния от точек $C$ и $B$ до прямой $a$ равны соответственно $8\sqrt{5}$ см и 12 см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть прямая пересечения плоскостей $a$ будет осью $Ox$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, мы можем принять плоскость $\alpha$ за координатную плоскость $Oxy$, а плоскость $\beta$ — за плоскость $Oxz$.

По условию, катет $AC$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($Oxy$), а гипотенуза $AB$ — плоскости $\beta$ ($Oxz$). Точка $A$ является общей точкой для катета $AC$ и гипотенузы $AB$, следовательно, она принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что точка $A$ лежит на линии их пересечения, то есть на прямой $a$ (оси $Ox$).

Пусть $C_1$ — это проекция точки $C$ на прямую $a$ (ось $Ox$). Тогда отрезок $CC_1$ перпендикулярен прямой $a$, и его длина равна расстоянию от точки $C$ до прямой $a$. По условию, $CC_1 = 8\sqrt{5}$ см. Поскольку точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$ ($Oxy$), а ее проекция $C_1$ на оси $Ox$, то $CC_1$ параллелен оси $Oy$.

Аналогично, пусть $B_1$ — это проекция точки $B$ на прямую $a$. Длина отрезка $BB_1$ равна расстоянию от точки $B$ до прямой $a$. По условию, $BB_1 = 12$ см. Поскольку точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($Oxz$), а ее проекция $B_1$ на оси $Ox$, то $BB_1$ параллелен оси $Oz$.

Для удобства вычислений разместим начало координат в точке $C_1$. Тогда координаты точки $C_1$ будут $(0, 0, 0)$. Следовательно, координаты точки $C$ будут $(0, 8\sqrt{5}, 0)$ (мы можем выбрать положительное направление оси $Oy$).

Точки $A$ и $B_1$ лежат на оси $Ox$. Пусть их координаты будут $A(x_A, 0, 0)$ и $B_1(x_B, 0, 0)$. Тогда координаты точки $B$ будут $(x_B, 0, 12)$ (также выберем положительное направление оси $Oz$).

Теперь найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$, используя координаты точек $A(x_A, 0, 0)$, $B(x_B, 0, 12)$ и $C(0, 8\sqrt{5}, 0)$:

$AC^2 = (x_A - 0)^2 + (0 - 8\sqrt{5})^2 + (0 - 0)^2 = x_A^2 + (8\sqrt{5})^2 = x_A^2 + 320$.

$BC^2 = (x_B - 0)^2 + (0 - 8\sqrt{5})^2 + (12 - 0)^2 = x_B^2 + (8\sqrt{5})^2 + 12^2 = x_B^2 + 320 + 144 = x_B^2 + 464$.

$AB^2 = (x_A - x_B)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 12)^2 = (x_A - x_B)^2 + 144$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с гипотенузой $AB$. Это означает, что $\angle ACB = 90^\circ$ и $AC = BC$.

Из условия $AC = BC$ следует, что $AC^2 = BC^2$:

$x_A^2 + 320 = x_B^2 + 464$

$x_A^2 - x_B^2 = 144$ (1)

Поскольку $\angle ACB = 90^\circ$, по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ имеем $AB^2 = AC^2 + BC^2$:

$(x_A - x_B)^2 + 144 = (x_A^2 + 320) + (x_B^2 + 464)$

$x_A^2 - 2x_A x_B + x_B^2 + 144 = x_A^2 + x_B^2 + 784$

$-2x_A x_B = 784 - 144$

$-2x_A x_B = 640$

$x_A x_B = -320$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_A$ и $x_B$. Из уравнения (2) выразим $x_B = -320/x_A$ и подставим в уравнение (1):

$x_A^2 - \left(-\frac{320}{x_A}\right)^2 = 144$

$x_A^2 - \frac{102400}{x_A^2} = 144$

Сделаем замену $u = x_A^2$ (где $u > 0$):

$u - \frac{102400}{u} = 144$

Умножим обе части уравнения на $u$:

$u^2 - 102400 = 144u$

$u^2 - 144u - 102400 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = (-144)^2 - 4(1)(-102400) = 20736 + 409600 = 430336$

$\sqrt{D} = \sqrt{430336} = 656$

Найдем корни уравнения для $u$:

$u = \frac{144 \pm 656}{2}$

Так как $u = x_A^2$, значение $u$ должно быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком плюс:

$u = \frac{144 + 656}{2} = \frac{800}{2} = 400$

Итак, $x_A^2 = 400$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} AC \cdot BC$. Поскольку $AC = BC$, площадь равна $S = \frac{1}{2} AC^2$.

Мы уже нашли выражение для $AC^2$: $AC^2 = x_A^2 + 320$. Подставим найденное значение $x_A^2 = 400$:

$AC^2 = 400 + 320 = 720$

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot 720 = 360$ см$^2$.

Ответ: 360 см$^2$.