Номер 15.39, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.39. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $B$ — в плоскости $\beta$, плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ удалена от прямой $m$ на 8 см, а точка $B$ — на 15 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $m$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть прямая m, по которой пересекаются плоскости $\alpha$ и $\beta$, совпадает с осью $Ox$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, мы можем принять их за координатные плоскости $Oxy$ и $Oxz$ соответственно. Таким образом, плоскость $\alpha$ — это плоскость $Oxy$, плоскость $\beta$ — это плоскость $Oxz$, и их линия пересечения $m$ — это ось $Ox$.

Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($Oxy$), и расстояние от нее до прямой $m$ (оси $Ox$) равно 8 см. Это означает, что ее $y$-координата по модулю равна 8. Без ограничения общности, пусть координаты точки $A$ будут $(x_A, 8, 0)$ для некоторого $x_A$.

Аналогично, точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($Oxz$), и расстояние от нее до прямой $m$ (оси $Ox$) равно 15 см. Это означает, что ее $z$-координата по модулю равна 15. Пусть ее координаты будут $(x_B, 0, 15)$ для некоторого $x_B$.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $m$. Это расстояние равно длине их общего перпендикуляра. Его можно найти, спроецировав обе прямые на плоскость, перпендикулярную одной из них.

Спроецируем нашу трехмерную конструкцию на плоскость $Oyz$, которая перпендикулярна прямой $m$ (оси $Ox$).

• Прямая $m$ (ось $Ox$) спроецируется в одну точку — начало координат $O(0, 0)$ на плоскости $Oyz$.
• Точка $A(x_A, 8, 0)$ спроецируется в точку $A'$ с координатами $(8, 0)$ на оси $Oy$.
• Точка $B(x_B, 0, 15)$ спроецируется в точку $B'$ с координатами $(0, 15)$ на оси $Oz$.
• Прямая $AB$ спроецируется в прямую $A'B'$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $m$ равно расстоянию от проекции прямой $m$ (точки $O$) до проекции прямой $AB$ (прямой $A'B'$) на плоскости $Oyz$.

Рассмотрим на плоскости $Oyz$ треугольник $\triangle OA'B'$. Этот треугольник является прямоугольным, так как оси $Oy$ и $Oz$ перпендикулярны ($\angle A'OB' = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны $OA' = 8$ см и $OB' = 15$ см. Расстояние от точки $O$ до прямой $A'B'$ — это длина высоты $h$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $A'B'$.

Найдем длину гипотенузы $A'B'$ по теореме Пифагора:$A'B' = \sqrt{(OA')^2 + (OB')^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle OA'B'$ можно вычислить двумя способами:1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot OA' \cdot OB' = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot A'B' \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:$\frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h = 60$$17h = 120$$h = \frac{120}{17}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $m$ равно $\frac{120}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.