Номер 15.37, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.37. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, диагональ которого равна $d$. Грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания, а грани $MCD$ и $MAD$ образуют с плоскостью основания углы, соответственно равные $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите ребро $MB$.

1. Анализ расположения высоты пирамиды

По условию, грани $MAB$ и $MCB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABCD)$. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Грани $MAB$ и $MCB$ пересекаются по ребру $MB$. Следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и $MB$ является высотой пирамиды.

Из того, что $MB \perp (ABCD)$, следует, что $MB$ перпендикулярно всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку $B$. В частности, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

2. Определение линейных углов

Угол между гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Его величина измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными к линии пересечения граней в одной точке.

Для грани $MCD$ и плоскости основания $(ABCD)$ линией пересечения является прямая $CD$. В плоскости основания $ABCD$ (прямоугольник) имеем $BC \perp CD$. Так как $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, а $MC$ — наклонная с проекцией $BC$ на эту плоскость, то по теореме о трех перпендикулярах, из $BC \perp CD$ следует $MC \perp CD$. Таким образом, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между гранью $MCD$ и основанием. По условию, $\angle MCB = 30^\circ$.

Для грани $MAD$ и плоскости основания $(ABCD)$ линией пересечения является прямая $AD$. В плоскости основания $ABCD$ (прямоугольник) имеем $AB \perp AD$. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB \perp AD$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ плоскости $(MAB)$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(MAB)$. Следовательно, $AD \perp MA$. Таким образом, угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла между гранью $MAD$ и основанием. По условию, $\angle MAB = 60^\circ$.

3. Выражение сторон основания через высоту

Обозначим искомую длину ребра $MB$ как $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ ($\angle B = 90^\circ$). Из определения тангенса:

$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{h}{BC}$

$BC = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ ($\angle B = 90^\circ$). Аналогично:

$\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{h}{AB}$

$AB = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$

4. Нахождение ребра MB

Основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$. Его диагональ $AC$ равна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения и выражения для сторон:

$d^2 = \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 + (h\sqrt{3})^2$

$d^2 = \frac{h^2}{3} + 3h^2$

$d^2 = h^2 \left(\frac{1}{3} + 3\right) = h^2 \left(\frac{1+9}{3}\right) = h^2 \frac{10}{3}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = \frac{3d^2}{10}$

Отсюда находим $h$ (длину ребра $MB$):

$h = \sqrt{\frac{3d^2}{10}} = d\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{d\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{d\sqrt{3}\sqrt{10}}{10} = \frac{d\sqrt{30}}{10}$

Ответ: $MB = \frac{d\sqrt{30}}{10}$