Номер 15.43, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.43. Основанием четырёхугольной пирамиды $KABCD$ является трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$), в которой $AB = 3$ см, $BC = 2$ см, $CD = 4$ см, $AD = 7$ см. Известно, что прямые $AB$ и $KD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $KAB$ и $KCD$.

Для нахождения угла между плоскостями $(KAB)$ и $(KCD)$ определим их линию пересечения и используем данные задачи для установления их взаимного расположения.

Поскольку основанием пирамиды является трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, и их продолжения пересекаются в некоторой точке $P$. Точка $P$ принадлежит как прямой $AB$ (а значит и плоскости $(KAB)$), так и прямой $CD$ (а значит и плоскости $(KCD)$). Вершина $K$ также принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскостей $(KAB)$ и $(KCD)$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$ в плоскости основания. Они подобны, так как $BC \parallel AD$ (углы при вершине $P$ общие, а углы при основаниях трапеции равны как соответственные). Коэффициент подобия равен $ k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{7} $. Из подобия следует:$ \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} = \frac{2}{7} $.

Зная, что $PA = PB + AB = PB + 3$, находим длину отрезка $PB$:$ \frac{PB}{PB + 3} = \frac{2}{7} \implies 7 \cdot PB = 2 \cdot (PB + 3) \implies 7 \cdot PB = 2 \cdot PB + 6 \implies 5 \cdot PB = 6 \implies PB = 1.2 $ см.Отсюда длина $PA$ равна $ PA = 1.2 + 3 = 4.2 $ см.

Аналогично, зная, что $PD = PC + CD = PC + 4$, находим длину отрезка $PC$:$ \frac{PC}{PC + 4} = \frac{2}{7} \implies 7 \cdot PC = 2 \cdot (PC + 4) \implies 7 \cdot PC = 2 \cdot PC + 8 \implies 5 \cdot PC = 8 \implies PC = 1.6 $ см.Отсюда длина $PD$ равна $ PD = 1.6 + 4 = 5.6 $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PAD$. Длины его сторон: $PA = 4.2$ см, $PD = 5.6$ см, $AD = 7$ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:$ PA^2 + PD^2 = (4.2)^2 + (5.6)^2 = 17.64 + 31.36 = 49 $.$ AD^2 = 7^2 = 49 $.Поскольку $ PA^2 + PD^2 = AD^2 $, то по обратной теореме Пифагора $\triangle PAD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $\angle APD = 90^\circ$. Это означает, что прямая $PA$ перпендикулярна прямой $PD$.

По условию задачи прямые $AB$ и $KD$ перпендикулярны ($AB \perp KD$). Так как точка $P$ лежит на продолжении отрезка $AB$, то прямая $AB$ совпадает с прямой $PA$. Следовательно, $PA \perp KD$.

Таким образом, мы установили, что прямая $PA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($PD$ и $KD$), лежащим в плоскости $(KCD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $PA$ перпендикулярна всей плоскости $(KCD)$.

Плоскость $(KAB)$ проходит через прямую $PA$. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, плоскость $(KAB)$ перпендикулярна плоскости $(KCD)$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.