Номер 15.47, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.47. Перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Катет $AC$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а гипотенуза $AB$ — плоскости $\beta$. Расстояния от точек $C$ и $B$ до прямой $a$ равны соответственно 2 см и $\sqrt{15}$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $α$ и $β$, которые пересекаются по прямой $a$.По условию, катет $AC$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $AC=BC$) принадлежит плоскости $α$, а гипотенуза $AB$ — плоскости $β$.Поскольку точка $A$ принадлежит и катету $AC$, и гипотенузе $AB$, она должна принадлежать обеим плоскостям $α$ и $β$. Следовательно, точка $A$ лежит на линии их пересечения, то есть $A \in a$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую $a$. Так как $C \in \alpha$ и $a \subset \alpha$, то и $H \in a$, и $CH \subset \alpha$. По условию, $CH = 2$ см.Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BK$ на прямую $a$. Так как $B \in \beta$ и $a \subset \beta$, то и $K \in a$, и $BK \subset \beta$. По условию, $BK = \sqrt{15}$ см.

Рассмотрим плоскость $α$. В ней лежат точки $A$, $C$, $H$, причем все они лежат на прямой $a$. Треугольник $CHA$ является прямоугольным, так как $CH \perp a$ по построению, значит $\angle CHA = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$AC^2 = CH^2 + AH^2 = 2^2 + AH^2 = 4 + AH^2$.

Рассмотрим плоскость $β$. В ней лежат точки $A$, $B$, $K$, причем $A, K$ лежат на прямой $a$. Треугольник $BKA$ является прямоугольным, так как $BK \perp a$ по построению, значит $\angle BKA = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$AB^2 = BK^2 + AK^2 = (\sqrt{15})^2 + AK^2 = 15 + AK^2$.

По свойству прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Так как $AC=BC$, то $AB^2 = 2AC^2$.Подставим найденные выражения для $AB^2$ и $AC^2$:$15 + AK^2 = 2(4 + AH^2)$$15 + AK^2 = 8 + 2AH^2$$AK^2 - 2AH^2 = -7$ (1)

Теперь найдем квадрат стороны $BC$.Так как плоскости $α$ и $β$ перпендикулярны, а прямая $CH$ лежит в плоскости $α$ и перпендикулярна их линии пересечения $a$, то $CH$ перпендикулярна всей плоскости $β$.Следовательно, $CH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $β$, проходящей через точку $H$. Прямая $HB$ лежит в плоскости $β$ (так как $H \in a \subset \beta$ и $B \in \beta$), поэтому $\triangle CHB$ — прямоугольный с $\angle CHB = 90^\circ$.По теореме Пифагора: $BC^2 = CH^2 + HB^2 = 2^2 + HB^2 = 4 + HB^2$.

Длину $HB$ найдем из прямоугольного треугольника $BKH$, который лежит в плоскости $β$ ($\angle BKH = 90^\circ$):$HB^2 = BK^2 + HK^2 = (\sqrt{15})^2 + HK^2 = 15 + HK^2$.Тогда $BC^2 = 4 + (15 + HK^2) = 19 + HK^2$.

По условию $AC=BC$, значит $AC^2 = BC^2$:$4 + AH^2 = 19 + HK^2$$AH^2 - HK^2 = 15$ (2)

Точки $A$, $H$, $K$ лежат на одной прямой $a$. Расстояние между $H$ и $K$ равно $HK = |AK - AH|$, следовательно, $HK^2 = (AK - AH)^2$.Подставим это в уравнение (2):$AH^2 - (AK - AH)^2 = 15$$AH^2 - (AK^2 - 2 \cdot AK \cdot AH + AH^2) = 15$$AH^2 - AK^2 + 2 \cdot AK \cdot AH - AH^2 = 15$$2 \cdot AK \cdot AH - AK^2 = 15$ (3)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (3) с переменными $AK$ и $AH$.$\begin{cases} AK^2 - 2AH^2 = -7 \\ 2 \cdot AK \cdot AH - AK^2 = 15 \end{cases}$Сложим эти два уравнения:$(AK^2 - 2AH^2) + (2 \cdot AK \cdot AH - AK^2) = -7 + 15$$2 \cdot AK \cdot AH - 2AH^2 = 8$$AH(AK - AH) = 4$Из первого уравнения выразим $AK^2$: $AK^2 = 2AH^2 - 7$.Из преобразованного второго: $AK \cdot AH = 4 + AH^2$.Возведем последнее равенство в квадрат:$(AK \cdot AH)^2 = (4 + AH^2)^2$$AK^2 \cdot AH^2 = (4 + AH^2)^2$Подставим выражение для $AK^2$:$(2AH^2 - 7) \cdot AH^2 = (4 + AH^2)^2$Пусть $x = AH^2$. Тогда:$x(2x - 7) = (4 + x)^2$$2x^2 - 7x = 16 + 8x + x^2$$x^2 - 15x - 16 = 0$Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.Так как $x = AH^2$ не может быть отрицательным, то $AH^2 = 16$.

Теперь мы можем найти длину катета $AC$:$AC^2 = 4 + AH^2 = 4 + 16 = 20$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AC^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см².

Ответ: 10 см².