Страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.40. Существует ли четырёхугольная пирамида, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

Да, такая пирамида существует. Приведём доказательство этого утверждения.

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Обозначим плоскость основания как $\alpha$. Предположим, что две противоположные боковые грани, например, $(SAB)$ и $(SCD)$, перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Известно, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости $(SAB)$ и $(SCD)$ являются гранями пирамиды, они не параллельны и имеют общую вершину $S$. Следовательно, они пересекаются по некоторой прямой $l$, проходящей через точку $S$.

Исходя из приведённого выше свойства, прямая $l$ перпендикулярна плоскости основания $\alpha$, то есть $l \perp \alpha$.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $AB$ и $CD$, на которых лежат стороны основания. Эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$. Возможны два случая.

Случай 1: Прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Если $AB \parallel CD$, то линия пересечения $l$ плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$ проходит через вершину $S$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$. Таким образом, $l \parallel AB$.
С другой стороны, мы установили, что $l \perp \alpha$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, из перпендикулярности прямой $l$ и плоскости $\alpha$ следует перпендикулярность прямых $l$ и $AB$, то есть $l \perp AB$.
Мы пришли к противоречию: прямая $l$ не может быть одновременно параллельна и перпендикулярна прямой $AB$. Это означает, что данный случай невозможен. Основание такой пирамиды не может быть трапецией или параллелограммом.

Случай 2: Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются.
Пусть прямые, содержащие стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$.
Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AB$, она принадлежит и плоскости $(SAB)$.
Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит и плоскости $(SCD)$.
Следовательно, точка $P$ принадлежит линии пересечения этих двух плоскостей, то есть прямой $l$.
Так как и вершина $S$ принадлежит прямой $l$, то линия пересечения $l$ есть прямая $SP$.
Из нашего первоначального вывода $l \perp \alpha$ следует, что $SP \perp \alpha$. Это означает, что высота пирамиды, проведённая из вершины $S$ к плоскости основания, совпадает с перпендикуляром $SP$, где $P$ — точка пересечения прямых, содержащих противоположные стороны основания $AB$ и $CD$.

Такая геометрическая конструкция является возможной. Мы можем построить искомую пирамиду. Для этого нужно:
1. Взять в качестве основания $ABCD$ четырёхугольник, у которого прямые, содержащие противоположные стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$.
2. В точке $P$ восстановить перпендикуляр к плоскости основания.
3. Выбрать на этом перпендикуляре любую точку $S$ (отличную от $P$) в качестве вершины пирамиды.

В полученной пирамиде $SABCD$ плоскость грани $(SAB)$ содержит прямую $SP$, которая перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, $(SAB) \perp (ABCD)$. Аналогично, плоскость грани $(SCD)$ также содержит прямую $SP$, и потому $(SCD) \perp (ABCD)$.
Таким образом, существование такой пирамиды доказано.

Ответ: Да, существует.

15.43. Основанием четырёхугольной пирамиды $KABCD$ является трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$), в которой $AB = 3$ см, $BC = 2$ см, $CD = 4$ см, $AD = 7$ см. Известно, что прямые $AB$ и $KD$ перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями $KAB$ и $KCD$.

Для нахождения угла между плоскостями $(KAB)$ и $(KCD)$ определим их линию пересечения и используем данные задачи для установления их взаимного расположения.

Поскольку основанием пирамиды является трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, и их продолжения пересекаются в некоторой точке $P$. Точка $P$ принадлежит как прямой $AB$ (а значит и плоскости $(KAB)$), так и прямой $CD$ (а значит и плоскости $(KCD)$). Вершина $K$ также принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскостей $(KAB)$ и $(KCD)$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$ в плоскости основания. Они подобны, так как $BC \parallel AD$ (углы при вершине $P$ общие, а углы при основаниях трапеции равны как соответственные). Коэффициент подобия равен $ k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{7} $. Из подобия следует:$ \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} = \frac{2}{7} $.

Зная, что $PA = PB + AB = PB + 3$, находим длину отрезка $PB$:$ \frac{PB}{PB + 3} = \frac{2}{7} \implies 7 \cdot PB = 2 \cdot (PB + 3) \implies 7 \cdot PB = 2 \cdot PB + 6 \implies 5 \cdot PB = 6 \implies PB = 1.2 $ см.Отсюда длина $PA$ равна $ PA = 1.2 + 3 = 4.2 $ см.

Аналогично, зная, что $PD = PC + CD = PC + 4$, находим длину отрезка $PC$:$ \frac{PC}{PC + 4} = \frac{2}{7} \implies 7 \cdot PC = 2 \cdot (PC + 4) \implies 7 \cdot PC = 2 \cdot PC + 8 \implies 5 \cdot PC = 8 \implies PC = 1.6 $ см.Отсюда длина $PD$ равна $ PD = 1.6 + 4 = 5.6 $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PAD$. Длины его сторон: $PA = 4.2$ см, $PD = 5.6$ см, $AD = 7$ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:$ PA^2 + PD^2 = (4.2)^2 + (5.6)^2 = 17.64 + 31.36 = 49 $.$ AD^2 = 7^2 = 49 $.Поскольку $ PA^2 + PD^2 = AD^2 $, то по обратной теореме Пифагора $\triangle PAD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$, то есть $\angle APD = 90^\circ$. Это означает, что прямая $PA$ перпендикулярна прямой $PD$.

По условию задачи прямые $AB$ и $KD$ перпендикулярны ($AB \perp KD$). Так как точка $P$ лежит на продолжении отрезка $AB$, то прямая $AB$ совпадает с прямой $PA$. Следовательно, $PA \perp KD$.

Таким образом, мы установили, что прямая $PA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($PD$ и $KD$), лежащим в плоскости $(KCD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $PA$ перпендикулярна всей плоскости $(KCD)$.

Плоскость $(KAB)$ проходит через прямую $PA$. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, плоскость $(KAB)$ перпендикулярна плоскости $(KCD)$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

15.47. Перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Катет $AC$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а гипотенуза $AB$ — плоскости $\beta$. Расстояния от точек $C$ и $B$ до прямой $a$ равны соответственно 2 см и $\sqrt{15}$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $α$ и $β$, которые пересекаются по прямой $a$.По условию, катет $AC$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $AC=BC$) принадлежит плоскости $α$, а гипотенуза $AB$ — плоскости $β$.Поскольку точка $A$ принадлежит и катету $AC$, и гипотенузе $AB$, она должна принадлежать обеим плоскостям $α$ и $β$. Следовательно, точка $A$ лежит на линии их пересечения, то есть $A \in a$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую $a$. Так как $C \in \alpha$ и $a \subset \alpha$, то и $H \in a$, и $CH \subset \alpha$. По условию, $CH = 2$ см.Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BK$ на прямую $a$. Так как $B \in \beta$ и $a \subset \beta$, то и $K \in a$, и $BK \subset \beta$. По условию, $BK = \sqrt{15}$ см.

Рассмотрим плоскость $α$. В ней лежат точки $A$, $C$, $H$, причем все они лежат на прямой $a$. Треугольник $CHA$ является прямоугольным, так как $CH \perp a$ по построению, значит $\angle CHA = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$AC^2 = CH^2 + AH^2 = 2^2 + AH^2 = 4 + AH^2$.

Рассмотрим плоскость $β$. В ней лежат точки $A$, $B$, $K$, причем $A, K$ лежат на прямой $a$. Треугольник $BKA$ является прямоугольным, так как $BK \perp a$ по построению, значит $\angle BKA = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$AB^2 = BK^2 + AK^2 = (\sqrt{15})^2 + AK^2 = 15 + AK^2$.

По свойству прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Так как $AC=BC$, то $AB^2 = 2AC^2$.Подставим найденные выражения для $AB^2$ и $AC^2$:$15 + AK^2 = 2(4 + AH^2)$$15 + AK^2 = 8 + 2AH^2$$AK^2 - 2AH^2 = -7$ (1)

Теперь найдем квадрат стороны $BC$.Так как плоскости $α$ и $β$ перпендикулярны, а прямая $CH$ лежит в плоскости $α$ и перпендикулярна их линии пересечения $a$, то $CH$ перпендикулярна всей плоскости $β$.Следовательно, $CH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $β$, проходящей через точку $H$. Прямая $HB$ лежит в плоскости $β$ (так как $H \in a \subset \beta$ и $B \in \beta$), поэтому $\triangle CHB$ — прямоугольный с $\angle CHB = 90^\circ$.По теореме Пифагора: $BC^2 = CH^2 + HB^2 = 2^2 + HB^2 = 4 + HB^2$.

Длину $HB$ найдем из прямоугольного треугольника $BKH$, который лежит в плоскости $β$ ($\angle BKH = 90^\circ$):$HB^2 = BK^2 + HK^2 = (\sqrt{15})^2 + HK^2 = 15 + HK^2$.Тогда $BC^2 = 4 + (15 + HK^2) = 19 + HK^2$.

По условию $AC=BC$, значит $AC^2 = BC^2$:$4 + AH^2 = 19 + HK^2$$AH^2 - HK^2 = 15$ (2)

Точки $A$, $H$, $K$ лежат на одной прямой $a$. Расстояние между $H$ и $K$ равно $HK = |AK - AH|$, следовательно, $HK^2 = (AK - AH)^2$.Подставим это в уравнение (2):$AH^2 - (AK - AH)^2 = 15$$AH^2 - (AK^2 - 2 \cdot AK \cdot AH + AH^2) = 15$$AH^2 - AK^2 + 2 \cdot AK \cdot AH - AH^2 = 15$$2 \cdot AK \cdot AH - AK^2 = 15$ (3)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (3) с переменными $AK$ и $AH$.$\begin{cases} AK^2 - 2AH^2 = -7 \\ 2 \cdot AK \cdot AH - AK^2 = 15 \end{cases}$Сложим эти два уравнения:$(AK^2 - 2AH^2) + (2 \cdot AK \cdot AH - AK^2) = -7 + 15$$2 \cdot AK \cdot AH - 2AH^2 = 8$$AH(AK - AH) = 4$Из первого уравнения выразим $AK^2$: $AK^2 = 2AH^2 - 7$.Из преобразованного второго: $AK \cdot AH = 4 + AH^2$.Возведем последнее равенство в квадрат:$(AK \cdot AH)^2 = (4 + AH^2)^2$$AK^2 \cdot AH^2 = (4 + AH^2)^2$Подставим выражение для $AK^2$:$(2AH^2 - 7) \cdot AH^2 = (4 + AH^2)^2$Пусть $x = AH^2$. Тогда:$x(2x - 7) = (4 + x)^2$$2x^2 - 7x = 16 + 8x + x^2$$x^2 - 15x - 16 = 0$Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.Так как $x = AH^2$ не может быть отрицательным, то $AH^2 = 16$.

Теперь мы можем найти длину катета $AC$:$AC^2 = 4 + AH^2 = 4 + 16 = 20$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AC^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см².

Ответ: 10 см².