Страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Величиной двугранного угла, образованного полуплоскостями, называется величина его линейного угла. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей ($c$) выбирается произвольная точка ($M$), и в каждой плоскости к этой точке проводится перпендикуляр к линии пересечения (прямая $a \perp c$ в плоскости $\alpha$ и прямая $b \perp c$ в плоскости $\beta$). Угол между этими перпендикулярами ($a$ и $b$) и есть линейный угол двугранного угла. Таким образом, если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$.

Ответ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90$ градусам.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

Признак перпендикулярности двух плоскостей формулируется в виде теоремы: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Формально: пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если в плоскости $\alpha$ существует прямая $a$ ($a \subset \alpha$), такая, что она перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то из этого следует, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).

Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

Можно выделить следующие основные свойства перпендикулярных плоскостей:

Свойство 1. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.
Пояснение: Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$) и пересекаются по прямой $c$. Если в плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$, которая перпендикулярна линии пересечения $c$ ($a \perp c$), то эта прямая $a$ будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Свойство 2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.
Пояснение: Пусть плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$) и плоскость $\beta$ также перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$). Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, то их линия пересечения $c$ будет перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Свойство 3. Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр ко второй плоскости, то этот перпендикуляр будет целиком лежать в первой плоскости.
Пояснение: Пусть плоскости $\alpha \perp \beta$ и $A$ - точка в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Если из точки $A$ провести прямую $a$ перпендикулярно плоскости $\beta$, то эта прямая $a$ будет полностью лежать в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Ответ: Основные свойства перпендикулярных плоскостей: 1. Прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и второй плоскости. 2. Линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей, также перпендикулярна этой третьей плоскости. 3. Перпендикуляр, проведенный из точки одной плоскости ко второй, целиком лежит в первой плоскости.

15.1. Приведите примеры, иллюстрирующие понятие «перпендикулярные плоскости», используя предметы окружающей обстановки.

Понятие «перпендикулярные плоскости» означает, что две плоскости пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). В окружающей нас обстановке можно найти множество таких примеров.

Пример 1: Комната

В любой комнате, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, плоскость пола перпендикулярна плоскости каждой из четырех стен. Также любые две смежные (соседние) стены перпендикулярны друг другу.

Ответ: Плоскость пола и плоскость стены; плоскости двух смежных стен.

Пример 2: Мебель (шкаф, стол)

В книжном шкафу плоскость каждой полки перпендикулярна плоскостям его боковых и задней стенок. У стола плоскость столешницы перпендикулярна плоскости его вертикальных опор (если они плоские).

Ответ: Плоскость полки и плоскость боковой стенки шкафа; плоскость столешницы и плоскость ее опоры.

Пример 3: Открытая книга

Если раскрыть книгу и поставить на стол так, чтобы ее левая и правая части образовывали прямой угол ($90^\circ$), то плоскости этих частей будут перпендикулярны. Кроме того, плоскость обложки книги, стоящей вертикально на столе, будет перпендикулярна плоскости стола.

Ответ: Плоскости страниц книги, раскрытой под углом $90^\circ$; плоскость обложки вертикально стоящей книги и плоскость стола.

Пример 4: Дверь и стена

Когда межкомнатная дверь открыта ровно на половину, образуя прямой угол ($90^\circ$) со стеной, то плоскость дверного полотна перпендикулярна плоскости стены.

Ответ: Плоскость двери, открытой на $90^\circ$, и плоскость стены.

Пример 5: Окно и подоконник

Плоскость, в которой находится оконное стекло, является вертикальной и перпендикулярной горизонтальной плоскости подоконника.

Ответ: Плоскость оконного стекла и плоскость подоконника.

15.2. На рисунке 15.10 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите, перпендикулярны ли плоскости:

1) $A_1B_1C_1$ и $CDD_1$;

2) $ABC$ и $A_1B_1C_1$;

3) $AA_1C_1$ и $ABC$;

4) $ACC_1$ и $BDD_1$.

Рис. 15.10

Для определения перпендикулярности плоскостей будем использовать признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1) A₁B₁C₁ и CDD₁;

Плоскость $A₁B₁C₁$ является плоскостью верхней грани куба, а плоскость $CDD₁$ — плоскостью правой боковой грани. Рассмотрим ребро $DD₁$. Так как $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — куб, его боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $DD₁$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A₁B₁C₁D₁$, то есть $DD₁ \perp (A₁B₁C₁)$. Прямая $DD₁$ принадлежит плоскости $CDD₁$. Поскольку плоскость $CDD₁$ содержит прямую $DD₁$, перпендикулярную плоскости $A₁B₁C₁$, то плоскости $A₁B₁C₁$ и $CDD₁$ перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

2) ABC и A₁B₁C₁;

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания куба, а плоскость $A₁B₁C₁$ — плоскостью верхнего основания. В кубе плоскости оснований параллельны друг другу. Параллельные плоскости не могут быть перпендикулярными, так как угол между ними равен $0^\circ$.
Ответ: плоскости не перпендикулярны (они параллельны).

3) AA₁C₁ и ABC;

Плоскость $AA₁C₁$ является диагональным сечением куба, проходящим через вершины $A, C, C₁, A₁$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. Ребро $AA₁$ является боковым ребром куба, и по свойству куба оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$. То есть, $AA₁ \perp (ABC)$. Прямая $AA₁$ лежит в плоскости $AA₁C₁$. Применяя признак перпендикулярности двух плоскостей, заключаем, что если плоскость ($AA₁C₁$) проходит через прямую ($AA₁$), перпендикулярную другой плоскости ($ABC$), то эти плоскости перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

4) ACC₁ и BDD₁.

Плоскости $ACC₁$ (или $AA₁C₁C$) и $BDD₁$ (или $BB₁D₁D$) являются диагональными сечениями куба. Рассмотрим прямую $BD$, которая лежит в плоскости $BDD₁$. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$. Боковое ребро $AA₁$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости. Таким образом, $AA₁ \perp BD$. Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA₁$) в плоскости $ACC₁$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC₁$. Так как плоскость $BDD₁$ проходит через прямую $BD$, перпендикулярную плоскости $ACC₁$, то плоскости $ACC₁$ и $BDD₁$ перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

15.3. Верно ли утверждение:

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

Утверждение неверно. По определению, две плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, что равносильно перпендикулярности двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. В то же время прямая $c$ лежит и в плоскости $\beta$, а значит, она не может быть перпендикулярна плоскости $\beta$. Более того, любая прямая в плоскости $\alpha$, параллельная линии пересечения $c$, будет параллельна плоскости $\beta$, а не перпендикулярна ей.

Перпендикулярны плоскости $\beta$ будут только те прямые, которые лежат в плоскости $\alpha$ и одновременно перпендикулярны линии пересечения $c$. Так как утверждение говорит о любой прямой, оно является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

Утверждение неверно. Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим контрпример. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $Oxy$, а плоскость $\beta$ — это плоскость $Oxz$ в декартовой системе координат. Эти плоскости перпендикулярны, их линия пересечения — ось $Ox$.

Теперь возьмем прямую $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Например, прямая, параллельная оси $Ox$ (которая лежит в плоскости $\beta$), но не лежащая в ней, например, прямая, заданная уравнениями $y=1, z=1$. Эта прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$. Однако прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($Oxy$), а параллельна ей. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

Утверждение неверно. Две плоскости, перпендикулярные третьей, могут как пересекаться, так и быть параллельными.

Рассмотрим контрпример. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это пол в комнате. Две смежные стены, $\alpha$ и $\beta$, обе перпендикулярны полу ($\gamma$). Однако эти стены не параллельны друг другу, они пересекаются.

В координатах: пусть плоскость $\gamma$ — это плоскость $Oxy$. Плоскость $\alpha=Oxz$ (задается уравнением $y=0$) перпендикулярна плоскости $\gamma$. Плоскость $\beta=Oyz$ (задается уравнением $x=0$) также перпендикулярна плоскости $\gamma$. Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по оси $Oz$.

Поскольку существует хотя бы один случай, когда такие плоскости не параллельны, общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

15.4. Опишите, как можно построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Требуется описать способ построения третьей плоскости $\gamma$, которая будет перпендикулярна обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

В основе построения лежит следующее свойство: если плоскость перпендикулярна двум пересекающимся плоскостям, то она перпендикулярна их линии пересечения. Справедливо и обратное утверждение, которое мы можем использовать для построения: любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна и самим этим плоскостям.

Докажем это утверждение.
Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$.
Пусть плоскость $\gamma$ построена так, что она перпендикулярна прямой $l$ ($\gamma \perp l$).
Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\gamma$. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$) и по построению перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$). Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
Аналогично рассмотрим плоскости $\beta$ и $\gamma$. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\beta$ ($l \subset \beta$) и перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$). Следовательно, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).
Таким образом, любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения $l$, удовлетворяет условию задачи.

Исходя из этого, алгоритм построения искомой плоскости будет следующим:

1. Найти линию пересечения $l$ двух данных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
2. Выбрать произвольную точку $P$ в пространстве.
3. Через точку $P$ построить плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$.

Построенная таким образом плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна обеим исходным плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Чтобы построить плоскость, перпендикулярную двум другим пересекающимся плоскостям, необходимо найти их линию пересечения и построить любую плоскость, перпендикулярную этой линии.

15.5. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $CBFE$ перпендикулярны (рис. 15.11).

1) Верно ли утверждение: а) $BF \perp AB$; б) $BE \perp BD$; в) $BE \perp AB$?

2) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ и расстояние от точки $D$ до прямой $BF$, если $AB = BF = 5$ см, $BC = 12$ см.

Рис. 15.11

1)

а) Дано, что плоскости прямоугольников ABCD и CBFE перпендикулярны. Прямая BF лежит в плоскости (CBFE). Прямая BC является линией пересечения этих плоскостей. Так как CBFE — прямоугольник, то $BF \perp BC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая AB лежит в плоскости (ABCD), значит $BF \perp AB$ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Утверждение верно.
Ответ: верно.

б) Для проверки этого утверждения воспользуемся данными из второй части задачи: $AB=5$ см, $BF=5$ см, $BC=12$ см. Рассмотрим треугольник BDE. Найдем длины его сторон. Из прямоугольного треугольника ABD (∠A = 90°): $BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $BD = 13$ см. Из прямоугольного треугольника CBE (∠C = 90°): $BE^2 = BC^2 + CE^2 = BC^2 + BF^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. $BE = 13$ см. Для нахождения DE рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. Так как CE лежит в плоскости (CBFE) и $CE \perp BC$, а плоскость (CBFE) $\perp$ (ABCD), то CE перпендикулярна плоскости (ABCD). Следовательно, $CE \perp CD$. $CD = AB = 5$ см, $CE = BF = 5$ см. $DE^2 = CD^2 + CE^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Проверим для треугольника BDE обратную теорему Пифагора: $BD^2 + BE^2 = 169 + 169 = 338$. Это не равно $DE^2 = 50$. Следовательно, угол DBE не является прямым, и $BE$ не перпендикулярна $BD$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) Прямая AB лежит в плоскости (ABCD) и $AB \perp BC$ (так как ABCD - прямоугольник). Поскольку плоскости (ABCD) и (CBFE) перпендикулярны, то прямая AB, перпендикулярная их линии пересечения BC, перпендикулярна всей плоскости (CBFE). Прямая BE лежит в плоскости (CBFE). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, $AB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости (CBFE), проходящей через точку B, следовательно $AB \perp BE$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2)

Найдем расстояние от точки E до прямой AD.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Рассмотрим прямую CE. Так как CBFE — прямоугольник, то $CE \perp BC$. Поскольку плоскость (CBFE) перпендикулярна плоскости (ABCD), то прямая CE перпендикулярна всей плоскости (ABCD). Рассмотрим наклонную ED и ее проекцию CD на плоскость (ABCD). Так как ABCD — прямоугольник, то $CD \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной (CD) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости (AD), то и сама наклонная (ED) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ED \perp AD$. Значит, длина отрезка ED и есть искомое расстояние. Найдем ED из прямоугольного треугольника ECD (∠ECD = 90°, так как $CE \perp$ плоскости (ABCD)). $CD = AB = 5$ см. $CE = BF = 5$ см. По теореме Пифагора: $ED = \sqrt{CE^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем расстояние от точки D до прямой BF.
Как было показано в пункте 1а), прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Это означает, что BF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку B. Прямая BD лежит в плоскости (ABCD) и проходит через точку B. Следовательно, $BF \perp BD$. Таким образом, отрезок BD является перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую BF, и его длина является искомым расстоянием. Найдем BD из прямоугольного треугольника ABD (∠A = 90°). $AB = 5$ см. $AD = BC = 12$ см. По теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: расстояние от точки E до прямой AD равно $5\sqrt{2}$ см, расстояние от точки D до прямой BF равно 13 см.

15.6. Плоскости правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $ABC$.

Пусть сторона правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = AC = AD = DC = a$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти искомый угол, необходимо построить проекцию прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $(ABC)$.

Проведем в треугольниках $ABC$ и $ADC$ высоты к их общему основанию $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольники $ABC$ и $ADC$ равносторонние (правильные), их высоты $BM$ и $DM$ являются также и медианами. Следовательно, $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$.

По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $AC$. Прямая $DM$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $DM \perp (ABC)$.

Таким образом, отрезок $DM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, а отрезок $BM$ является проекцией наклонной $BD$ на эту плоскость.

Искомый угол — это угол между наклонной $BD$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle DBM$.

Рассмотрим треугольник $DMB$. Поскольку $DM \perp (ABC)$, то прямая $DM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BM$. Значит, $\triangle DMB$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DMB$.

Найдем длины катетов $BM$ и $DM$. $BM$ и $DM$ — это высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Так как катеты $BM$ и $DM$ в прямоугольном треугольнике $DMB$ равны, этот треугольник является равнобедренным. Острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны $45^\circ$.

Также можно найти тангенс угла $\angle DBM$ через отношение катетов:
$\tan(\angle DBM) = \frac{DM}{BM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Отсюда следует, что $\angle DBM = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.