Номер 15.5, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.5. Плоскости прямоугольников $ABCD$ и $CBFE$ перпендикулярны (рис. 15.11).

1) Верно ли утверждение: а) $BF \perp AB$; б) $BE \perp BD$; в) $BE \perp AB$?

2) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$ и расстояние от точки $D$ до прямой $BF$, если $AB = BF = 5$ см, $BC = 12$ см.

Рис. 15.11

1)

а) Дано, что плоскости прямоугольников ABCD и CBFE перпендикулярны. Прямая BF лежит в плоскости (CBFE). Прямая BC является линией пересечения этих плоскостей. Так как CBFE — прямоугольник, то $BF \perp BC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Прямая AB лежит в плоскости (ABCD), значит $BF \perp AB$ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Утверждение верно.
Ответ: верно.

б) Для проверки этого утверждения воспользуемся данными из второй части задачи: $AB=5$ см, $BF=5$ см, $BC=12$ см. Рассмотрим треугольник BDE. Найдем длины его сторон. Из прямоугольного треугольника ABD (∠A = 90°): $BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $BD = 13$ см. Из прямоугольного треугольника CBE (∠C = 90°): $BE^2 = BC^2 + CE^2 = BC^2 + BF^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. $BE = 13$ см. Для нахождения DE рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. Так как CE лежит в плоскости (CBFE) и $CE \perp BC$, а плоскость (CBFE) $\perp$ (ABCD), то CE перпендикулярна плоскости (ABCD). Следовательно, $CE \perp CD$. $CD = AB = 5$ см, $CE = BF = 5$ см. $DE^2 = CD^2 + CE^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Проверим для треугольника BDE обратную теорему Пифагора: $BD^2 + BE^2 = 169 + 169 = 338$. Это не равно $DE^2 = 50$. Следовательно, угол DBE не является прямым, и $BE$ не перпендикулярна $BD$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) Прямая AB лежит в плоскости (ABCD) и $AB \perp BC$ (так как ABCD - прямоугольник). Поскольку плоскости (ABCD) и (CBFE) перпендикулярны, то прямая AB, перпендикулярная их линии пересечения BC, перпендикулярна всей плоскости (CBFE). Прямая BE лежит в плоскости (CBFE). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, $AB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости (CBFE), проходящей через точку B, следовательно $AB \perp BE$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2)

Найдем расстояние от точки E до прямой AD.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Рассмотрим прямую CE. Так как CBFE — прямоугольник, то $CE \perp BC$. Поскольку плоскость (CBFE) перпендикулярна плоскости (ABCD), то прямая CE перпендикулярна всей плоскости (ABCD). Рассмотрим наклонную ED и ее проекцию CD на плоскость (ABCD). Так как ABCD — прямоугольник, то $CD \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной (CD) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости (AD), то и сама наклонная (ED) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ED \perp AD$. Значит, длина отрезка ED и есть искомое расстояние. Найдем ED из прямоугольного треугольника ECD (∠ECD = 90°, так как $CE \perp$ плоскости (ABCD)). $CD = AB = 5$ см. $CE = BF = 5$ см. По теореме Пифагора: $ED = \sqrt{CE^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем расстояние от точки D до прямой BF.
Как было показано в пункте 1а), прямая BF перпендикулярна плоскости (ABCD). Это означает, что BF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку B. Прямая BD лежит в плоскости (ABCD) и проходит через точку B. Следовательно, $BF \perp BD$. Таким образом, отрезок BD является перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую BF, и его длина является искомым расстоянием. Найдем BD из прямоугольного треугольника ABD (∠A = 90°). $AB = 5$ см. $AD = BC = 12$ см. По теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: расстояние от точки E до прямой AD равно $5\sqrt{2}$ см, расстояние от точки D до прямой BF равно 13 см.