Вопросы, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Величиной двугранного угла, образованного полуплоскостями, называется величина его линейного угла. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей ($c$) выбирается произвольная точка ($M$), и в каждой плоскости к этой точке проводится перпендикуляр к линии пересечения (прямая $a \perp c$ в плоскости $\alpha$ и прямая $b \perp c$ в плоскости $\beta$). Угол между этими перпендикулярами ($a$ и $b$) и есть линейный угол двугранного угла. Таким образом, если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$.

Ответ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90$ градусам.

2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

Признак перпендикулярности двух плоскостей формулируется в виде теоремы: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Формально: пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Если в плоскости $\alpha$ существует прямая $a$ ($a \subset \alpha$), такая, что она перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то из этого следует, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).

Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

Можно выделить следующие основные свойства перпендикулярных плоскостей:

Свойство 1. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.
Пояснение: Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$) и пересекаются по прямой $c$. Если в плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$, которая перпендикулярна линии пересечения $c$ ($a \perp c$), то эта прямая $a$ будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Свойство 2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.
Пояснение: Пусть плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$) и плоскость $\beta$ также перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$). Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, то их линия пересечения $c$ будет перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Свойство 3. Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр ко второй плоскости, то этот перпендикуляр будет целиком лежать в первой плоскости.
Пояснение: Пусть плоскости $\alpha \perp \beta$ и $A$ - точка в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Если из точки $A$ провести прямую $a$ перпендикулярно плоскости $\beta$, то эта прямая $a$ будет полностью лежать в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Ответ: Основные свойства перпендикулярных плоскостей: 1. Прямая в одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и второй плоскости. 2. Линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей, также перпендикулярна этой третьей плоскости. 3. Перпендикуляр, проведенный из точки одной плоскости ко второй, целиком лежит в первой плоскости.