Номер 14.52, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.52. Точка M, K и E — середины соответственно рёбер $A_1B_1$, BC и CD куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $AME$ и $KME$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D и осями, направленными вдоль ребер DA, DC и DD₁. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими:$A(a, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D(0, 0, 0)$,$A_1(a, 0, a)$, $B_1(a, a, a)$, $C_1(0, a, a)$, $D_1(0, 0, a)$.

Найдем координаты точек M, K и E, которые являются серединами ребер $A_1B_1$, $BC$ и $CD$ соответственно.

• Координаты точки M (середина $A_1B_1$): $M = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (a, \frac{a}{2}, a)$.
• Координаты точки K (середина $BC$): $K = (\frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, a, 0)$.
• Координаты точки E (середина $CD$): $E = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, 0)$.

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали. Найдем вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $AME$. Для этого найдем координаты двух векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AE}$ и $\vec{AM}$.$\vec{AE} = E - A = (0-a, \frac{a}{2}-0, 0-0) = (-a, \frac{a}{2}, 0)$.$\vec{AM} = M - A = (a-a, \frac{a}{2}-0, a-0) = (0, \frac{a}{2}, a)$.Вектор нормали $\vec{n_1}$ является векторным произведением векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AM}$:$\vec{n_1} = \vec{AE} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a/2 & 0 \\ 0 & a/2 & a \end{vmatrix} = (\frac{a^2}{2})\mathbf{i} - (-a^2)\mathbf{j} + (-\frac{a^2}{2})\mathbf{k} = (\frac{a^2}{2}, a^2, -\frac{a^2}{2})$.Для удобства в качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $\frac{a^2}{2}$: $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$.

Теперь найдем вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $KME$. Найдем два вектора в этой плоскости, например, $\vec{EK}$ и $\vec{EM}$.$\vec{EK} = K - E = (\frac{a}{2}-0, a-\frac{a}{2}, 0-0) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.$\vec{EM} = M - E = (a-0, \frac{a}{2}-\frac{a}{2}, a-0) = (a, 0, a)$.Вектор нормали $\vec{n_2}$ является векторным произведением векторов $\vec{EK}$ и $\vec{EM}$:$\vec{n_2} = \vec{EK} \times \vec{EM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 & a/2 & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = (\frac{a^2}{2})\mathbf{i} - (\frac{a^2}{2})\mathbf{j} + (-\frac{a^2}{2})\mathbf{k} = (\frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{2})$.Упростим, разделив на $\frac{a^2}{2}$: $\vec{n_2} = (1, -1, -1)$.

Угол $\theta$ между плоскостями найдем как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ и $\vec{n_2} = (1, -1, -1)$. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$.Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, и угол между плоскостями $AME$ и $KME$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.