Номер 14.51, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.51. На ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $P$. Затем на ребре $AD$ отметили точку $Q$ так, что $AP = DQ$. Докажите, что угол между плоскостями $A_1PC$ и $A_1QC$ не зависит от выбора точки $P$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба, необходимых для решения, будут следующими:$A = (0, 0, 0)$, $B = (a, 0, 0)$, $C = (a, a, 0)$, $D = (0, a, 0)$ и $A_1 = (0, 0, a)$.

Точка $P$ лежит на ребре $AB$. Обозначим длину отрезка $AP$ через $p$, где $0 \le p \le a$. Тогда координаты точки $P$ будут $(p, 0, 0)$.

Точка $Q$ лежит на ребре $AD$. По условию $AP = DQ$. Длина отрезка $DQ$ равна разности $y$-координат точек $D$ и $Q$. Пусть координаты точки $Q$ равны $(0, q, 0)$, где $0 \le q \le a$. Тогда $DQ = |a-q| = a-q$. Из условия $AP = DQ$ получаем $p = a-q$, откуда $q = a-p$. Таким образом, координаты точки $Q$ равны $(0, a-p, 0)$.

Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали. Найдем векторы нормали для плоскостей $A_1PC$ и $A_1QC$.

Для плоскости $(A_1PC)$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{A_1P}$ и $\vec{A_1C}$:$\vec{A_1P} = P - A_1 = (p, 0, 0) - (0, 0, a) = (p, 0, -a)$.$\vec{A_1C} = C - A_1 = (a, a, 0) - (0, 0, a) = (a, a, -a)$.Вектор нормали $\vec{n}_1$ к плоскости $(A_1PC)$ можно найти как векторное произведение этих векторов:$\vec{n}_1 = \vec{A_1P} \times \vec{A_1C} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 0 & -a \\ a & a & -a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-a) - (-a) \cdot a) - \vec{j}(p \cdot (-a) - (-a) \cdot a) + \vec{k}(p \cdot a - 0 \cdot a) = (a^2, a(p-a), ap)$.Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив все координаты на $a$ (так как $a \neq 0$): $\vec{n}_1' = (a, p-a, p)$.

Для плоскости $(A_1QC)$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{A_1Q}$ и $\vec{A_1C}$:$\vec{A_1Q} = Q - A_1 = (0, a-p, 0) - (0, 0, a) = (0, a-p, -a)$.$\vec{A_1C} = (a, a, -a)$.Вектор нормали $\vec{n}_2$ к плоскости $(A_1QC)$ найдем как их векторное произведение:$\vec{n}_2 = \vec{A_1Q} \times \vec{A_1C} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a-p & -a \\ a & a & -a \end{vmatrix} = \vec{i}((a-p)(-a) - (-a) \cdot a) - \vec{j}(0 \cdot (-a) - (-a) \cdot a) + \vec{k}(0 \cdot a - (a-p) \cdot a) = (ap, -a^2, a(p-a))$.Разделим все координаты на $a$: $\vec{n}_2' = (p, -a, p-a)$.

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между векторами нормали $\vec{n}_1'$ и $\vec{n}_2'$. Угол между плоскостями будет равен $\phi$ или $180^\circ - \phi$. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормали.$\cos\phi = \frac{\vec{n}_1' \cdot \vec{n}_2'}{|\vec{n}_1'| \cdot |\vec{n}_2'|}$.

Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{n}_1' \cdot \vec{n}_2' = a \cdot p + (p-a) \cdot (-a) + p \cdot (p-a) = ap - ap + a^2 + p^2 - ap = p^2 - ap + a^2$.

Найдем квадраты длин векторов:$|\vec{n}_1'|^2 = a^2 + (p-a)^2 + p^2 = a^2 + p^2 - 2ap + a^2 + p^2 = 2p^2 - 2ap + 2a^2 = 2(p^2 - ap + a^2)$.$|\vec{n}_2'|^2 = p^2 + (-a)^2 + (p-a)^2 = p^2 + a^2 + p^2 - 2ap + a^2 = 2p^2 - 2ap + 2a^2 = 2(p^2 - ap + a^2)$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:$\cos\phi = \frac{p^2 - ap + a^2}{\sqrt{2(p^2 - ap + a^2)} \cdot \sqrt{2(p^2 - ap + a^2)}} = \frac{p^2 - ap + a^2}{2(p^2 - ap + a^2)}$.

Рассмотрим выражение в числителе и знаменателе $p^2 - ap + a^2$. Это квадратный трехчлен относительно $p$. Его дискриминант $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$. Так как $a > 0$, дискриминант $D < 0$. Коэффициент при $p^2$ положителен, следовательно, выражение $p^2 - ap + a^2$ всегда положительно. Значит, мы можем сократить дробь:$\cos\phi = \frac{1}{2}$.

Так как косинус угла между векторами нормали равен постоянной величине $1/2$ и не зависит от $p$, то и сам угол между плоскостями является постоянной величиной. Этот угол равен $\arccos(1/2) = 60^\circ$. Таким образом, мы доказали, что угол между плоскостями $A_1PC$ и $A_1QC$ не зависит от выбора точки $P$.

Ответ: Угол между плоскостями не зависит от выбора точки P, так как косинус этого угла всегда равен $1/2$, что соответствует углу $60^\circ$.