Номер 14.47, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.47. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Известно, что $DC = 1$ см, $CA = CB = \sqrt{2}$ см и $\angle ACB = 90^\circ$. Найдите угол между плоскостями $ABD$ и $ACD$.

По условию, ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $DC$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Таким образом, треугольники $ACD$ и $BCD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $C$.

Угол между плоскостями $ABD$ и $ACD$ - это двугранный угол, который измеряется величиной своего линейного угла. Линейный угол строится на линии пересечения двух плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABD$ и $ACD$ является прямая $AD$.

Для построения линейного угла нам нужно найти перпендикуляры к прямой $AD$, проведенные в каждой из плоскостей из одной и той же точки на $AD$.

Рассмотрим прямую $BC$. По условию $\angle ACB = 90^\circ$, значит $BC \perp AC$. Также, так как $DC \perp (ABC)$, то $DC \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $DC$) в плоскости $ACD$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ACD$.

Теперь построим линейный угол. В плоскости $ACD$ проведем из точки $C$ перпендикуляр $CE$ к прямой $AD$. Таким образом, $CE \perp AD$.

Соединим точки $B$ и $E$. Отрезок $BE$ лежит в плоскости $ABD$. Так как $BC \perp (ACD)$, то $CE$ является проекцией наклонной $BE$ на плоскость $ACD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($CE$) перпендикулярна прямой ($AD$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($BE$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BE \perp AD$.

Мы получили, что $CE \perp AD$ и $BE \perp AD$, причем $CE \subset (ACD)$ и $BE \subset (ABD)$. Значит, угол $\angle CEB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABD$ и $ACD$.

Найдем величину этого угла. Поскольку $BC \perp (ACD)$, то прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CE$. Следовательно, треугольник $BCE$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $BCE$ тангенс угла $\angle CEB$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $CE$: $\tan(\angle CEB) = \frac{BC}{CE}$.

По условию $BC = \sqrt{2}$ см. Найдем длину $CE$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем $AC = \sqrt{2}$ см и $DC = 1$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AD$:
$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$ см.

$CE$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AD$. Площадь треугольника $ACD$ можно выразить двумя способами:
$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot DC = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot CE = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot CE$

Приравнивая эти выражения, получаем:
$\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot CE = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$CE = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь вернемся к треугольнику $BCE$ и вычислим тангенс искомого угла:
$\tan(\angle CEB) = \frac{BC}{CE} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.