Номер 14.48, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.48. На рёбрах $AA_1$ и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $A_1M = B_1N$. На рёбрах $DC$ и $B_1C_1$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ так, что $CP = C_1K$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $AB$. Плоскость $\beta$ проходит через точки $P$ и $K$ параллельно прямой $CC_1$. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в вершине $A$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направлены вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

Координаты вершин куба в этой системе:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$,$A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Найдем координаты заданных точек.Пусть $A_1M = B_1N = h$.Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$. Так как $A_1M=h$, то $AM = AA_1 - A_1M = a - h$. Координаты точки $M$: $(0, 0, a-h)$.Точка $N$ лежит на ребре $B_1C_1$. Координаты точки $N$ можно найти, прибавив к координатам точки $B_1$ вектор $\vec{B_1N}$. Вектор $\vec{B_1C_1}$ имеет координаты $(0, a, 0)$. Тогда $\vec{B_1N} = \frac{h}{a}\vec{B_1C_1} = (0, h, 0)$. Координаты точки $N$: $(a, 0, a) + (0, h, 0) = (a, h, a)$.

Пусть $CP = C_1K = k$.Точка $P$ лежит на ребре $DC$. Вектор $\vec{CD}$ имеет координаты $(-a, 0, 0)$. Тогда $\vec{CP} = \frac{k}{a}\vec{CD} = (-k, 0, 0)$. Координаты точки $P$: $(a, a, 0) + (-k, 0, 0) = (a-k, a, 0)$.Точка $K$ лежит на ребре $B_1C_1$. Вектор $\vec{C_1B_1}$ имеет координаты $(0, -a, 0)$. Тогда $\vec{C_1K} = \frac{k}{a}\vec{C_1B_1} = (0, -k, 0)$. Координаты точки $K$: $(a, a, a) + (0, -k, 0) = (a, a-k, a)$.

Теперь найдем нормальные векторы к плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Построение плоскости $\alpha$ и нахождение ее нормального вектора.Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M(0, 0, a-h)$ и $N(a, h, a)$, значит, вектор $\vec{MN}$ лежит в этой плоскости.$\vec{MN} = (a-0, h-0, a-(a-h)) = (a, h, h)$.Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, значит, она параллельна вектору $\vec{AB} = (a, 0, 0)$.Нормальный вектор $\vec{n_\alpha}$ плоскости $\alpha$ перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, параллельным этой плоскости. В качестве таких векторов возьмем $\vec{MN}$ и $\vec{AB}$. Найдем $\vec{n_\alpha}$ как их векторное произведение:$\vec{n_\alpha} = \vec{MN} \times \vec{AB} = (a, h, h) \times (a, 0, 0) = (h \cdot 0 - h \cdot 0, h \cdot a - a \cdot 0, a \cdot 0 - h \cdot a) = (0, ah, -ah)$.В качестве нормального вектора можно взять любой коллинеарный ему вектор. Упростим, разделив на $ah$ (предполагая, что $a \neq 0$ и $h \neq 0$):$\vec{n_\alpha} = (0, 1, -1)$.

Построение плоскости $\beta$ и нахождение ее нормального вектора.Плоскость $\beta$ проходит через точки $P(a-k, a, 0)$ и $K(a, a-k, a)$, значит, вектор $\vec{PK}$ лежит в этой плоскости.$\vec{PK} = (a-(a-k), (a-k)-a, a-0) = (k, -k, a)$.Плоскость $\beta$ параллельна прямой $CC_1$, значит, она параллельна вектору $\vec{CC_1} = (0, 0, a)$.Аналогично, нормальный вектор $\vec{n_\beta}$ плоскости $\beta$ перпендикулярен векторам $\vec{PK}$ и $\vec{CC_1}$. Найдем $\vec{n_\beta}$ как их векторное произведение:$\vec{n_\beta} = \vec{PK} \times \vec{CC_1} = (k, -k, a) \times (0, 0, a) = (-k \cdot a - a \cdot 0, a \cdot 0 - k \cdot a, k \cdot 0 - (-k) \cdot 0) = (-ka, -ka, 0)$.Упростим, разделив на $-ka$ (предполагая, что $k \neq 0$ и $a \neq 0$):$\vec{n_\beta} = (1, 1, 0)$.

Нахождение угла между плоскостями.Угол $\varphi$ между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_\alpha}$ и $\vec{n_\beta}$. Косинус этого угла можно найти по формуле:$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_\beta}|}{|\vec{n_\alpha}| \cdot |\vec{n_\beta}|}$Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_\beta} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 1$.Найдем модули векторов:$|\vec{n_\alpha}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.$|\vec{n_\beta}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.Теперь найдем косинус угла:$\cos \varphi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.Отсюда, угол $\varphi$ между плоскостями равен $\arccos(\frac{1}{2})$.$\varphi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.