Номер 14.46, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.46. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно равны 6 см, $3\sqrt{6}$ см и $6\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $A_1AD$ и $A_1DB$.

Пусть $\alpha$ - это плоскость $AA_1D$, а $\beta$ - это плоскость $A_1DB$. Угол между двумя плоскостями - это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке.

1. Найдем линию пересечения плоскостей.
Плоскость $AA_1D$ содержит точки $A$, $A_1$, $D$. Плоскость $A_1DB$ содержит точки $A_1$, $D$, $B$. Общими точками для этих двух плоскостей являются $A_1$ и $D$. Следовательно, плоскости пересекаются по прямой $A_1D$.

2. Построим линейный угол двугранного угла.
Искомый угол - это угол между двумя отрезками, перпендикулярными $A_1D$, проведенными из одной точки на $A_1D$, причем один отрезок лежит в плоскости $AA_1D$, а другой - в плоскости $A_1DB$.
Рассмотрим грань $AA_1D_1D$. Это прямоугольник. Треугольник $AA_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Проведем в этом треугольнике высоту $AH$ к гипотенузе $A_1D$. Таким образом, $AH \perp A_1D$, и $AH$ лежит в плоскости $AA_1D$.
Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямоугольный параллелепипед, ребро $AB$ перпендикулярно грани $AA_1D_1D$. Следовательно, $AB$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AH$. Значит, $\triangle ABH$ - прямоугольный с $\angle BAH = 90^\circ$.
Рассмотрим наклонную $BH$ к плоскости $AA_1D$. $AB$ - перпендикуляр, проведенный из точки $B$ к плоскости $AA_1D$, а $AH$ - проекция наклонной $BH$ на эту плоскость. Поскольку прямая $A_1D$ в плоскости $AA_1D$ перпендикулярна проекции $AH$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной $BH$. То есть, $BH \perp A_1D$.
Мы получили, что $AH \perp A_1D$ и $BH \perp A_1D$, причем $AH \subset (AA_1D)$ и $BH \subset (A_1DB)$. Следовательно, угол $\angle AHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $AA_1D$ и $A_1DB$.

3. Вычислим величину угла $\angle AHB$.
Для этого найдем стороны прямоугольного треугольника $\triangle AHB$. Нам известна длина катета $AB = 6$ см.
Найдем длину катета $AH$. $AH$ - это высота в прямоугольном треугольнике $AA_1D$. Найдем сначала стороны этого треугольника. По условию, катеты $AD = 3\sqrt{6}$ см и $AA_1 = 6\sqrt{3}$ см. Найдем гипотенузу $A_1D$ по теореме Пифагора: $A_1D^2 = AD^2 + AA_1^2 = (3\sqrt{6})^2 + (6\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 6 + 36 \cdot 3 = 54 + 108 = 162$. $A_1D = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ см.
Высоту $AH$ в прямоугольном треугольнике можно найти через площадь. Площадь треугольника $AA_1D$ равна: $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{3} = 9\sqrt{18} = 9 \cdot 3\sqrt{2} = 27\sqrt{2}$ см$^2$. С другой стороны, площадь равна $S = \frac{1}{2} \cdot A_1D \cdot AH$. Отсюда $AH = \frac{2S}{A_1D} = \frac{2 \cdot 27\sqrt{2}}{9\sqrt{2}} = \frac{54\sqrt{2}}{9\sqrt{2}} = 6$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$. Мы знаем длины его катетов: $AB = 6$ см и $AH = 6$ см. Этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Найдем тангенс угла $\angle AHB$: $\text{tg}(\angle AHB) = \frac{AB}{AH} = \frac{6}{6} = 1$.
Следовательно, $\angle AHB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.