Номер 14.44, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.44. Катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) принадлежит плоскости $\alpha$, а вершина $A$ не принадлежит этой плоскости. Докажите, что угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ больше, чем угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, а вершина $A$ не принадлежит этой плоскости. Докажем, что угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ больше, чем угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$.

1. Построение и определение углов

Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ является проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$. Так как точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, то длина перпендикуляра $AH > 0$.

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между самой прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HB$ (поскольку $H$ — проекция $A$, а точка $B$ лежит в плоскости и является проекцией самой себя). Обозначим искомый угол $\theta = \angle ABH$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $HB$. Следовательно, $\triangle ABH$ — прямоугольный ($\angle AHB = 90^\circ$). Из этого треугольника находим синус угла $\theta$: $\sin\theta = \frac{AH}{AB}$.

Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей является прямая $BC$. По условию, в плоскости $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$, то есть $AC \perp BC$. Проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($HC$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $HC \perp BC$. Поскольку $AC \perp BC$ и $HC \perp BC$, угол $\angle ACH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями. Обозначим этот угол $\phi = \angle ACH$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости, то $\triangle ACH$ — прямоугольный ($\angle AHC = 90^\circ$). Из него находим синус угла $\phi$: $\sin\phi = \frac{AH}{AC}$.

2. Сравнение углов

Итак, мы получили выражения для синусов двух углов: $\sin\theta = \frac{AH}{AB}$ и $\sin\phi = \frac{AH}{AC}$.

В исходном прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому $AB > AC$.

Сравним дроби $\frac{AH}{AB}$ и $\frac{AH}{AC}$. У них одинаковые положительные числители ($AH > 0$). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $AC < AB$, то $\frac{AH}{AC} > \frac{AH}{AB}$.

Следовательно, $\sin\phi > \sin\theta$.

Углы $\theta$ и $\phi$ являются острыми углами в прямоугольных треугольниках, поэтому они принадлежат интервалу $(0^\circ, 90^\circ)$. На этом интервале функция синуса строго возрастает, что означает, что большему значению синуса соответствует больший угол.

Из $\sin\phi > \sin\theta$ следует, что $\phi > \theta$. Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.