Номер 14.42, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.42. Точка $M$ находится на расстоянии 3 см от плоскости квадрата $ABCD$ и равноудалена от его вершин. Найдите угол между плоскостями $BMC$ и $DMC$, если $AB = 4\sqrt{2}$ см.

Пусть $O$ – проекция точки $M$ на плоскость квадрата $ABCD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD$), ее проекция $O$ является центром квадрата, то есть точкой пересечения его диагоналей. Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата – это длина перпендикуляра $MO$. Таким образом, $MO = 3$ см.

Сторона квадрата $ABCD$ равна $AB = 4\sqrt{2}$ см. Найдем длину диагонали квадрата $AC$ (или $BD$) по теореме Пифагора для треугольника $ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 32 + 32 = 64$ см$^2$.$AC = BD = \sqrt{64} = 8$ см.Так как $O$ – центр квадрата, то $OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$. По теореме Пифагора найдем длину отрезка $MC$, который является боковым ребром пирамиды $MABCD$:$MC^2 = MO^2 + OC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ см$^2$.$MC = \sqrt{25} = 5$ см.Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин, то $MB = MD = MC = 5$ см.

Угол между плоскостями $BMC$ и $DMC$ – это двугранный угол при ребре $MC$. Для его нахождения построим линейный угол. Треугольники $BMC$ и $DMC$ равны по трем сторонам ($MB=MD=5$ см, $BC=DC=4\sqrt{2}$ см, $MC$ – общая сторона). Проведем в треугольнике $DMC$ высоту $DH$ к стороне $MC$. Так как треугольники равны, то высота $BH$ в треугольнике $BMC$, проведенная к стороне $MC$, будет равна высоте $DH$ и попадет в ту же точку $H$. Таким образом, искомый угол между плоскостями равен углу $\angle BHD$.

Найдем длину высоты $DH$ (или $BH$). Для этого вычислим площадь треугольника $DMC$ двумя способами.Сначала найдем высоту $MK$, проведенную из вершины $M$ к основанию $DC$ в равнобедренном треугольнике $DMC$. $K$ – середина $DC$, значит $DK = \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.Из прямоугольного треугольника $MDK$ по теореме Пифагора:$MK^2 = MD^2 - DK^2 = 5^2 - (2\sqrt{2})^2 = 25 - 8 = 17$.$MK = \sqrt{17}$ см.Площадь треугольника $DMC$:$S_{DMC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{17} = 2\sqrt{34}$ см$^2$.С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через высоту $DH$:$S_{DMC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot DH$.$2\sqrt{34} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot DH$.Отсюда $DH = \frac{4\sqrt{34}}{5}$ см. Так как $\triangle BMC = \triangle DMC$, то $BH = DH = \frac{4\sqrt{34}}{5}$ см.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $BHD$. Нам известны длины всех его сторон: $BH = DH = \frac{4\sqrt{34}}{5}$ см и $BD = 8$ см. Найдем косинус угла $\angle BHD$ по теореме косинусов:$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\angle BHD)$.$8^2 = \left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right) \cdot \left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right) \cdot \cos(\angle BHD)$.$64 = 2 \cdot \frac{16 \cdot 34}{25} - 2 \cdot \frac{16 \cdot 34}{25} \cdot \cos(\angle BHD)$.$64 = 2 \cdot \frac{544}{25} \cdot (1 - \cos(\angle BHD))$.$64 = \frac{1088}{25} \cdot (1 - \cos(\angle BHD))$.$1 - \cos(\angle BHD) = \frac{64 \cdot 25}{1088}$.Так как $1088 = 64 \cdot 17$, то:$1 - \cos(\angle BHD) = \frac{25}{17}$.$\cos(\angle BHD) = 1 - \frac{25}{17} = -\frac{8}{17}$.Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(-\frac{8}{17}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{8}{17}\right)$.