Номер 14.36, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.36. Отрезок $MA$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $MCD$, если $MA = AB$, $\angle ABC = 120^\circ$.

Обозначим искомый угол между плоскостями $ABC$ и $MCD$ как $\alpha$. Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью ромба $ABCD$. Следовательно, мы ищем угол между плоскостью ромба $ABCD$ и плоскостью $MCD$.

Эти две плоскости пересекаются по прямой $CD$. Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его нахождения построим перпендикуляры к линии пересечения $CD$ в каждой из плоскостей, проведенные к одной точке.

1. В плоскости ромба $ABCD$ опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $CD$. Таким образом, $AH \perp CD$.

2. По условию, отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости $ABCD$. Это означает, что $MA$ — перпендикуляр, а $MH$ — наклонная к плоскости $ABCD$, и $AH$ — проекция этой наклонной на плоскость.

3. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($CD$), то и сама наклонная ($MH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MH \perp CD$.

Мы построили два перпендикуляра ($AH$ и $MH$) к общей прямой $CD$, сходящиеся в точке $H$. Угол между этими перпендикулярами, $\angle MHA$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $MCD$. Таким образом, $\alpha = \angle MHA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Значит, $MA \perp AH$, и треугольник $\triangle MAH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MAH$.

Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $MA$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan(\alpha) = \tan(\angle MHA) = \frac{MA}{AH}$

Теперь найдем длины катетов. Пусть сторона ромба равна $a$.

Из условия задачи мы знаем, что $MA = AB$. Так как $AB$ — сторона ромба, то $MA = a$.

Далее найдем длину $AH$. $AH$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $CD$ ромба. В ромбе $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то смежный с ним угол $\angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Противоположный угол $\angle ADC = \angle ABC = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADH$. Это прямоугольный треугольник, где $AD$ — гипотенуза ($AD=a$). Угол $\angle ADH$ является смежным с углом $\angle ADC$ ромба, если точка $H$ лежит на продолжении стороны $CD$ за точку $D$. Угол $\angle ADH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ADH$ находим катет $AH$:

$AH = AD \cdot \sin(\angle ADH) = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная длины $MA$ и $AH$, можем найти тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{MA}{AH} = \frac{a}{a \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$