Номер 14.30, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.30. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а расстояние между прямой $BC$ и этой плоскостью равно $7\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если сторона ромба равна 28 см, а $\angle BAD = 30^\circ$.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а плоскость ромба $ABCD$ обозначим как $\beta$.
По условию, сторона $AD$ ромба лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AD$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то и прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость. Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BK$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этого перпендикуляра равна $7\sqrt{3}$ см, то есть $BK = 7\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $\beta$ и $\alpha$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости ромба $\beta$ проведём высоту $BH$ к стороне $AD$. Таким образом, по определению высоты, $BH \perp AD$.

Точка $K$ является проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$. Прямая $KH$ является проекцией наклонной $BH$ на плоскость $\alpha$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, так как наклонная $BH$ перпендикулярна прямой $AD$ (которая лежит в плоскости $\alpha$), то и её проекция $KH$ перпендикулярна прямой $AD$ ($KH \perp AD$).

Поскольку $BH \perp AD$ и $KH \perp AD$, то угол $\angle BHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\beta$ и $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BKH$. Так как $BK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $KH$ лежит в этой плоскости, то $BK \perp KH$. Следовательно, $\triangle BKH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle BKH$.

В этом треугольнике катет $BK = 7\sqrt{3}$ см, а гипотенуза — это высота ромба $BH$. Найдём длину высоты $BH$. В ромбе $ABCD$ рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Он прямоугольный ($\angle BHA = 90^\circ$), гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, равная 28 см, а угол $\angle BAH = \angle BAD = 30^\circ$.
Катет $BH$ лежит напротив угла в $30^\circ$, значит:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 28 \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BKH$ мы можем найти синус искомого угла $\phi = \angle BHK$:
$\sin \phi = \frac{BK}{BH} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.