Номер 14.26, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.26. Отрезок $MC$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью $AMD$ равен $45^\circ$. Найдите площадь квадрата, если точка $M$ удалена от прямой $AD$ на 10 см.

Поскольку отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MC \perp CD$. Следовательно, треугольник $MCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle MCD = 90^\circ $).

Угол между плоскостью квадрата $(ABC)$ и плоскостью $(AMD)$ — это двугранный угол. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла необходимо построить перпендикуляры к линии пересечения $AD$ в каждой из плоскостей, проведенные к одной точке.

В плоскости квадрата $(ABC)$ сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$ ($CD \perp AD$), так как $ABCD$ — квадрат.

Рассмотрим наклонную $MD$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $CD$. Поскольку проекция $CD$ перпендикулярна прямой $AD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $AD$ ($MD \perp AD$).

Таким образом, угол $\angle MDC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(AMD)$. По условию, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle MDC = 45^\circ$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AD$. Мы доказали, что $MD \perp AD$, значит, длина отрезка $MD$ и есть это расстояние. По условию, $MD = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MCD$. В нем известны гипотенуза $MD = 10$ см и острый угол $\angle MDC = 45^\circ$. Найдем катет $CD$, который является стороной квадрата $ABCD$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$CD = MD \cdot \cos(\angle MDC)$

$CD = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь квадрата $ABCD$ вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае $a = CD$.

$S_{ABCD} = (CD)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ см$^2$.

Ответ: 50 см$^2$.