Номер 14.19, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.19. В гранях двугранного угла, равного $45^\circ$, проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на $2\sqrt{2}$ см и 3 см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Пусть дан двугранный угол с ребром $l$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. Величина двугранного угла равна $45^\circ$. В грани $\alpha$ проведена прямая $a$, параллельная ребру $l$, на расстоянии $d_1 = 2\sqrt{2}$ см от него. В грани $\beta$ проведена прямая $b$, параллельная ребру $l$, на расстоянии $d_2 = 3$ см от него. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $l$, они параллельны между собой ($a \parallel b$). Требуется найти расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Для решения задачи построим сечение, перпендикулярное ребру двугранного угла. Пусть плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $l$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны $l$, плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна и прямым $a$ и $b$.

Пусть плоскость $\gamma$ пересекает ребро $l$ в точке $O$, прямую $a$ — в точке $A$, и прямую $b$ — в точке $B$. В сечении мы получим треугольник $AOB$.

Длина отрезка $OA$ равна расстоянию от прямой $a$ до ребра $l$, так как $OA \perp l$ (по построению) и $OA$ лежит в грани $\alpha$. Таким образом, $OA = 2\sqrt{2}$ см.

Аналогично, длина отрезка $OB$ равна расстоянию от прямой $b$ до ребра $l$, так как $OB \perp l$ и $OB$ лежит в грани $\beta$. Таким образом, $OB = 3$ см.

Угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle AOB = 45^\circ$.

Искомое расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ — это длина отрезка $AB$, так как он лежит в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым, и соединяет их.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ применим теорему косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения:

$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$

Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB^2 = (4 \cdot 2) + 9 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 8 + 9 - 12 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2}$

$AB^2 = 17 - \frac{12 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 17 - 12 = 5$

$AB = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.