Страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.15. Отрезок $CE$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 14.23). Найдите угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$.

Рис. 14.23

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной и той же точки.

1. Плоскости $BCE$ и $DCE$ пересекаются по прямой $CE$. Это их общая линия пересечения.

2. Согласно условию, отрезок $CE$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Математически это записывается как $CE \perp (ABCD)$.

3. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения (в данном случае, точку $C$).

4. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp BC$.

5. Прямая $DC$ также лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $C$. Следовательно, $CE \perp DC$.

6. Мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $CE$: отрезок $BC$, лежащий в плоскости $BCE$, и отрезок $DC$, лежащий в плоскости $DCE$. Оба перпендикуляра исходят из одной точки $C$.

7. Таким образом, искомый угол между плоскостями $BCE$ и $DCE$ равен углу между отрезками $BC$ и $DC$, то есть углу $\angle BCD$.

8. Так как $ABCD$ является квадратом, все его углы прямые. Следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

14.16. Отрезок $BK$ — перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$ (рис. 14.24), $\angle ABC = 100^\circ$. Найдите угол между плоскостями $ABK$ и $CBK$.

Рис. 14.24

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется величиной линейного угла соответствующего двугранного угла. Линейный угол — это угол между двумя перпендикулярами, восстановленными из одной точки на линии пересечения плоскостей, причем эти перпендикуляры лежат в данных плоскостях.

1. Определим линию пересечения плоскостей $(ABK)$ и $(CBK)$. Так как обе плоскости содержат общий отрезок $BK$, их линией пересечения является прямая $BK$.

2. Построим линейный угол. По условию задачи, отрезок $BK$ перпендикулярен плоскости ромба $ABCD$. Из определения перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая $BK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$ и проходящей через точку $B$.

Прямые $AB$ и $CB$ являются сторонами ромба, лежат в плоскости $(ABCD)$ и проходят через точку $B$. Следовательно, отрезок $BK$ перпендикулярен отрезкам $AB$ и $CB$:

$BK \perp AB$ и $BK \perp CB$.

Таким образом, мы имеем:

• отрезок $AB$, который лежит в плоскости $(ABK)$ и перпендикулярен линии пересечения $BK$ в точке $B$;
• отрезок $CB$, который лежит в плоскости $(CBK)$ и перпендикулярен линии пересечения $BK$ в той же точке $B$.

По определению, угол между этими отрезками, то есть $\angle ABC$, является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABK)$ и $(CBK)$.

3. Найдем величину этого угла. По условию задачи дано, что $\angle ABC = 100^{\circ}$.

Следовательно, угол между плоскостями $(ABK)$ и $(CBK)$ равен $100^{\circ}$.

Ответ: $100^{\circ}$.

14.17. Все ребра тетраэдра $DABC$ равны, точка $M$ — середина ребра $CD$.

Докажите, что угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$ равен углу $AMB$.

По определению, угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина линейного угла соответствующего двугранного угла. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей выбирается точка, и из этой точки в каждой из плоскостей проводится луч, перпендикулярный линии пересечения. Угол между этими лучами и является линейным углом.

В нашей задаче даны две плоскости: $(ACD)$ и $(BCD)$. Линией их пересечения является общее ребро $CD$.

По условию, все ребра тетраэдра $DABC$ равны. Это означает, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники.

Рассмотрим грань $ACD$. Треугольник $\triangle ACD$ является равносторонним. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Следовательно, отрезок $AM$ является медианой треугольника $\triangle ACD$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Значит, $AM$ перпендикулярно $CD$ ($AM \perp CD$).

Аналогично рассмотрим грань $BCD$. Треугольник $\triangle BCD$ также является равносторонним. Отрезок $BM$ является медианой, поскольку $M$ — середина $CD$. В равностороннем треугольнике $\triangle BCD$ медиана $BM$ также является высотой. Значит, $BM$ перпендикулярно $CD$ ($BM \perp CD$).

Таким образом, мы имеем два отрезка, $AM$ и $BM$, которые лежат в плоскостях $(ACD)$ и $(BCD)$ соответственно. Оба отрезка выходят из одной точки $M$ на линии пересечения $CD$ и оба перпендикулярны этой линии.

Следовательно, по определению, угол $\angle AMB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$. А значит, угол между плоскостями $(ACD)$ и $(BCD)$ равен углу $\angle AMB$.

Ответ: Утверждение доказано.

14.18. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD_1B_1C_1D_1$ является квадратом, $AD = \sqrt{3}$ см, $AA_1 = 3$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C$.

По условию, дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого грань $ABCD$ является квадратом со стороной $AD = \sqrt{3}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = 3$ см. Требуется найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.

Плоскость $(ABC)$ — это плоскость нижнего основания.Рассмотрим плоскость $(A_1B_1C)$. В прямоугольном параллелепипеде ребра $A_1B_1$ и $AB$ параллельны и равны. Также, поскольку $ABCD$ — квадрат, $AB \parallel DC$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel DC$. Две параллельные прямые $A_1B_1$ и $DC$ определяют плоскость, которой принадлежат точки $A_1$, $B_1$, $C$ и $D$. Таким образом, плоскость $(A_1B_1C)$ совпадает с плоскостью $(A_1B_1CD)$.

Следовательно, задача сводится к нахождению угла между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью сечения $(A_1B_1CD)$.

Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $CD$. Угол между двумя плоскостями определяется величиной линейного угла соответствующего двугранного угла. Для построения линейного угла выберем на линии пересечения $CD$ точку $C$ и проведем к ней в каждой из плоскостей перпендикуляры.

1. В плоскости основания $(ABC)$, так как $ABCD$ — квадрат, сторона $BC$ перпендикулярна стороне $CD$. Таким образом, $BC \perp CD$.

2. В плоскости сечения $(A_1B_1CD)$ нам нужно найти прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную $CD$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $CD$. Итак, $CC_1 \perp CD$.Так как прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $(BCC_1B_1)$, то прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $(BCC_1B_1)$. Прямая $B_1C$ лежит в этой плоскости, следовательно, $B_1C \perp CD$.

Таким образом, линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1CD)$ является угол между лучами $CB$ и $CB_1$, то есть угол $\angle B_1CB$.

Для нахождения величины этого угла рассмотрим треугольник $\triangle B_1BC$. Так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то оно перпендикулярно и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\angle B_1BC = 90^\circ$, и треугольник $\triangle B_1BC$ является прямоугольным.

Катеты этого треугольника равны:

• $BC = AD = \sqrt{3}$ см (так как $ABCD$ — квадрат).
• $BB_1 = AA_1 = 3$ см (высота параллелепипеда).

Найдем тангенс угла $\angle B_1CB$:$$ \tan(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, искомый угол между плоскостями равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

14.19. В гранях двугранного угла, равного $45^\circ$, проведены прямые, параллельные его ребру и удалённые от ребра на $2\sqrt{2}$ см и 3 см соответственно. Найдите расстояние между данными параллельными прямыми.

Пусть дан двугранный угол с ребром $l$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. Величина двугранного угла равна $45^\circ$. В грани $\alpha$ проведена прямая $a$, параллельная ребру $l$, на расстоянии $d_1 = 2\sqrt{2}$ см от него. В грани $\beta$ проведена прямая $b$, параллельная ребру $l$, на расстоянии $d_2 = 3$ см от него. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $l$, они параллельны между собой ($a \parallel b$). Требуется найти расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Для решения задачи построим сечение, перпендикулярное ребру двугранного угла. Пусть плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $l$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны $l$, плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна и прямым $a$ и $b$.

Пусть плоскость $\gamma$ пересекает ребро $l$ в точке $O$, прямую $a$ — в точке $A$, и прямую $b$ — в точке $B$. В сечении мы получим треугольник $AOB$.

Длина отрезка $OA$ равна расстоянию от прямой $a$ до ребра $l$, так как $OA \perp l$ (по построению) и $OA$ лежит в грани $\alpha$. Таким образом, $OA = 2\sqrt{2}$ см.

Аналогично, длина отрезка $OB$ равна расстоянию от прямой $b$ до ребра $l$, так как $OB \perp l$ и $OB$ лежит в грани $\beta$. Таким образом, $OB = 3$ см.

Угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle AOB = 45^\circ$.

Искомое расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ — это длина отрезка $AB$, так как он лежит в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым, и соединяет их.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ применим теорему косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения:

$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$

Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB^2 = (4 \cdot 2) + 9 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 8 + 9 - 12 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2}$

$AB^2 = 17 - \frac{12 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 17 - 12 = 5$

$AB = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.

14.20. Плоскость $\alpha$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $m$ и $n$. Расстояние от ребра двугранного угла до прямой $m$ равно 3 см, до прямой $n$ — 5 см, а расстояние между прямыми $m$ и $n$ — 7 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $P_1$ и $P_2$ с ребром $r$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает эти полуплоскости по параллельным прямым $m$ и $n$ соответственно, то есть $m \subset P_1$, $n \subset P_2$ и $m \parallel n$.

Поскольку параллельные прямые $m$ и $n$ лежат в пересекающихся плоскостях $P_1$ и $P_2$, они обе параллельны линии пересечения этих плоскостей, то есть ребру $r$. Таким образом, $m \parallel r$ и $n \parallel r$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем произвольную точку $O$ на ребре $r$ и проведём через неё плоскость $\beta$, перпендикулярную ребру $r$.

Так как прямые $m$ и $n$ параллельны $r$, плоскость $\beta$ будет перпендикулярна и прямым $m$ и $n$.Пусть плоскость $\beta$ пересекает прямые $m$ и $n$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда угол $\angle MON$ является линейным углом данного двугранного угла. Найдём его величину.

Рассмотрим треугольник $\triangle MON$, который лежит в плоскости $\beta$. Длины его сторон определяются из условия задачи:

• Расстояние от ребра $r$ до прямой $m$ — это длина общего перпендикуляра к этим параллельным прямым. Отрезок $OM$ лежит в плоскости $\beta$, перпендикулярной к $r$ и $m$, и соединяет эти прямые, следовательно, $OM$ и есть этот перпендикуляр. Таким образом, $OM = 3$ см.
• Аналогично, расстояние от ребра $r$ до прямой $n$ равно длине отрезка $ON$. Таким образом, $ON = 5$ см.
• Расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$ — это длина их общего перпендикуляра. Отрезок $MN$ лежит в плоскости $\beta$, перпендикулярной к $m$ и $n$, и соединяет эти прямые, следовательно, $MN$ является их общим перпендикуляром. Таким образом, $MN = 7$ см.

Итак, мы имеем треугольник $\triangle MON$ со сторонами $OM=3$ см, $ON=5$ см, $MN=7$ см. Угол $\angle MON$ — искомый двугранный угол. Обозначим его $\phi$.

Для нахождения угла $\phi$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle MON$:$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\phi)$$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\phi)$$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\phi)$

Выразим $\cos(\phi)$:$30 \cdot \cos(\phi) = 34 - 49$$30 \cdot \cos(\phi) = -15$$\cos(\phi) = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

Величина двугранного угла может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$ в этом диапазоне, равен $120^\circ$.$\phi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

14.21. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 14.25), $AB = BC = AC = 8$ см, $BD = 4\sqrt{7}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$.

Рис. 14.25

Двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $BCD$ измеряется величиной его линейного угла. Линия пересечения этих плоскостей — ребро $BC$.

Для построения линейного угла проведем в плоскости $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний по условию ($AB = BC = AC = 8$ см), его высота $AH$ также является и медианой.

Поскольку ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DA$ является перпендикуляром к этой плоскости, $DH$ — наклонная, а $AH$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$. Так как проекция $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости ($AH \perp BC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DH \perp BC$).

Так как $AH \perp BC$ и $DH \perp BC$, то угол $\angle DHA$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $BCD$.

Найдем величину угла $\angle DHA$. Поскольку $DA \perp (ABC)$, то $DA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAH$.

Найдем длины катетов $DA$ и $AH$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:
$DA^2 + AB^2 = DB^2$
$DA = \sqrt{DB^2 - AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 - 8^2} = \sqrt{16 \cdot 7 - 64} = \sqrt{112 - 64} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. $AH$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=8$ см. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AH = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $DAH$ катеты $DA$ и $AH$ равны: $DA = AH = 4\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $DAH$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, следовательно, его острые углы равны $45^\circ$.

Таким образом, $\angle DHA = 45^\circ$.

Искомый двугранный угол равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

14.22. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 14.26), $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 7$ см, $AD = 7\sqrt{5}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $ACD$.

Двугранный угол между гранями, содержащими треугольники $ABC$ и $ACD$, определяется линейным углом, построенным на их общем ребре $AC$.

По условию, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $DB$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DC$ — наклонная, а $BC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $ABC$.

В треугольнике $ABC$ задано, что $\angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $BC \perp AC$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной ($AC$), перпендикулярна ее проекции ($BC$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DC$). Таким образом, получаем, что $DC \perp AC$.

Так как $BC \perp AC$ и $DC \perp AC$, то угол $\angle DCB$ является линейным углом искомого двугранного угла. Наша задача — найти величину этого угла.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$.

2. Так как $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DB$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AB$. Следовательно, треугольник $ADB$ является прямоугольным ($\angle DBA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $DB$:
$DB^2 = AD^2 - AB^2 = (7\sqrt{5})^2 - 98 = 49 \cdot 5 - 98 = 245 - 98 = 147$.
$DB = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

3. Так как $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DB \perp BC$. Следовательно, треугольник $DBC$ является прямоугольным ($\angle DBC = 90^\circ$). В этом треугольнике мы можем найти тангенс угла $\angle DCB$:
$\text{tg}(\angle DCB) = \frac{DB}{BC} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle DCB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.