Страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.10. Прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$ лежат в разных плоскостях (рис. 14.20), причём прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, если $AF = \sqrt{15}$ см, $CD = \sqrt{5}$ см.

Рис. 14.20

По условию, `ABCD` и `BCEF` – прямоугольники. Они лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону `BC`. Двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, – это двугранный угол между плоскостями `(ABC)` и `(BCEF)`. Линией пересечения этих плоскостей является прямая `BC`.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Линейный угол двугранного угла – это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру.

Так как `ABCD` – прямоугольник, то `AB ⊥ BC`.
Так как `BCEF` – прямоугольник, то `BF ⊥ BC`.
Следовательно, угол `∠ABF` является линейным углом искомого двугранного угла. Наша задача – найти величину этого угла.

По условию, прямая `AF` перпендикулярна плоскости `ABC`. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что `AF` перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку `A`. В частности, `AF ⊥ AB`.

Это означает, что треугольник `△ABF` является прямоугольным с прямым углом при вершине `A` ($∠FAB = 90°$).

В прямоугольнике `ABCD` противоположные стороны равны, поэтому `AB = CD`. По условию `CD = √5` см, значит, `AB = √5` см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник `△ABF`. В нем известны длины двух катетов: `AF = √15` см и `AB = √5` см. Найдем тангенс угла `∠ABF`:

$tan(∠ABF) = \frac{AF}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен `√3`, составляет `60°`. Таким образом, `∠ABF = 60°`.

Так как `∠ABF` является линейным углом искомого двугранного угла, то величина этого двугранного угла равна `60°`.

Ответ: 60°.

14.11. Треугольники $ABC$ и $ACD$ лежат в разных плоскостях (рис. 14.21), причём прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если $\angle ACD = 90^\circ$, $BC = 6$ см, $CD = 12$ см.

Рис. 14.21

По определению, мерой двугранного угла является мера его линейного угла. Линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$, — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения $AC$ из одной точки, причем один перпендикуляр лежит в плоскости $(ABC)$, а другой — в плоскости $(ACD)$.

По условию, треугольник $ACD$ — прямоугольный с $\angle ACD = 90^{\circ}$, следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AC$ ($CD \perp AC$). Так как $CD$ лежит в плоскости $(ACD)$, то $CD$ является одним из лучей, образующих линейный угол.

Рассмотрим прямую $BD$, которая по условию перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Тогда $BC$ является проекцией наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Поскольку наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($CD \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах (обратной) ее проекция $BC$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$).

Таким образом, мы имеем два перпендикуляра к прямой $AC$ в точке $C$: $BC$ (в плоскости $(ABC)$) и $CD$ (в плоскости $(ACD)$). Следовательно, угол $\angle BCD$ является линейным углом искомого двугранного угла.

Теперь найдем величину этого угла. Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $BD \perp BC$. Это означает, что треугольник $BCD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle DBC = 90^{\circ}$).

В прямоугольном треугольнике $BCD$ нам известны:

• катет $BC = 6$ см (прилежащий к углу $\angle BCD$)
• гипотенуза $CD = 12$ см

Найдем косинус угла $\angle BCD$:$$ \cos(\angle BCD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{CD} $$$$ \cos(\angle BCD) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^{\circ}$.$$ \angle BCD = 60^{\circ} $$Следовательно, искомый двугранный угол равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

14.12. Один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении двух плоскостей, равен $130^\circ$. Найдите угол между данными плоскостями.

При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла. Они попарно равны, а сумма двух смежных двугранных углов равна $180°$.

Пусть один из двугранных углов, образовавшихся при пересечении плоскостей, равен $\alpha$, а другой, смежный с ним, равен $\beta$. По условию, один из углов равен $130°$. Так как угол между плоскостями по определению не может быть тупым (он всегда меньше или равен $90°$), то данный угол $130°$ является одним из двух тупых углов, образовавшихся при пересечении.

Пусть $\alpha = 130°$. Найдем величину смежного с ним угла $\beta$:
$\alpha + \beta = 180°$
$\beta = 180° - \alpha = 180° - 130° = 50°$

Таким образом, при пересечении плоскостей образуются два острых угла по $50°$ и два тупых угла по $130°$.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Сравнивая два угла, $50°$ и $130°$, выбираем меньший.

Следовательно, угол между данными плоскостями равен $50°$.

Ответ: 50°.

14.13. Даны плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$. Сколько плоскостей можно провести через прямую $a$ таких, что угол $\varphi$ между плоскостью $\alpha$ и проведённой плоскостью удовлетворяет условию:

1) $\varphi = 90^\circ$;

2) $\varphi = 0^\circ$;

3) $0^\circ < \varphi < 90^\circ$?

Пусть дана плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$, не лежащая в этой плоскости. Все плоскости, проходящие через прямую $a$, образуют пучок плоскостей с осью $a$. Угол $\phi$ между любой такой плоскостью и плоскостью $\alpha$ может принимать значения от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Нам нужно найти количество плоскостей, проходящих через прямую $a$ и перпендикулярных плоскости $\alpha$. Такая плоскость должна содержать перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Выберем на прямой $a$ любую точку $M$ и опустим из нее перпендикуляр $MP$ на плоскость $\alpha$. Так как прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней, точка $P$ не будет лежать на прямой $a$. Через прямую $a$ и точку $P$, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать прямую $a$ и перпендикуляр $MP$ к плоскости $\alpha$, а значит, она будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, существует ровно одна такая плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Нам нужно найти количество плоскостей, проходящих через прямую $a$ и параллельных плоскости $\alpha$, так как угол между параллельными плоскостями равен $0^\circ$. По теореме о существовании плоскости, параллельной данной, через прямую, параллельную плоскости, проходит одна и только одна плоскость, параллельная данной. Поскольку по условию прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то существует единственная плоскость, которая проходит через прямую $a$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: одна плоскость.

Рассмотрим все плоскости, проходящие через прямую $a$. Как было показано выше, среди них есть одна плоскость, для которой угол $\phi = 0^\circ$ (параллельная), и одна плоскость, для которой $\phi = 90^\circ$ (перпендикулярная). Любая другая плоскость, проходящая через прямую $a$, будет пересекать плоскость $\alpha$ под некоторым углом $\phi$, где $0^\circ < \phi < 90^\circ$. Можно представить себе вращение плоскости вокруг прямой $a$ как оси. Начиная с положения, параллельного $\alpha$ ($\phi=0^\circ$), при вращении в любую сторону угол с плоскостью $\alpha$ будет непрерывно изменяться, принимая все значения из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$. Для каждого конкретного значения угла $\phi_0$ из этого интервала ($0^\circ < \phi_0 < 90^\circ$) существуют две различные плоскости, образующие такой угол с плоскостью $\alpha$ (симметричные относительно плоскости, проходящей через $a$ параллельно $\alpha$). Поскольку существует бесконечное множество действительных чисел в интервале $(0, 90)$, то существует и бесконечно много плоскостей, угол которых с плоскостью $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \phi < 90^\circ$.

Ответ: бесконечно много.

14.14. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 14.22). Найдите угол между плоскостями $ABM$ и $CBM$.

Рис. 14.22

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения, проведенными из одной точки на этой линии.

1. Найдём линию пересечения плоскостей.Плоскости $ABM$ и $CBM$ имеют общую прямую $MB$. Следовательно, $MB$ — это линия их пересечения.

2. Построим линейный угол двугранного угла.По условию, отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Из этого следует, что $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$.Таким образом, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABM$ и перпендикулярна линии пересечения $MB$ в точке $B$.Прямая $BC$ лежит в плоскости $CBM$ и также перпендикулярна линии пересечения $MB$ в точке $B$.

Следовательно, угол между плоскостями $ABM$ и $CBM$ равен углу между прямыми $AB$ и $BC$. Этот угол и есть $\angle ABC$.

3. Вычислим величину угла.По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.Значит, $\angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.