Страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.1. Приведите примеры, иллюстрирующие понятие «двугранный угол», используя предметы окружающей обстановки.

14.1.

Двугранный угол — это часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, имеющими общую границу — прямую линию. Эта прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. Величина двугранного угла измеряется линейным углом, то есть углом, образованным двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре.

В окружающей обстановке существует множество объектов, которые могут служить примерами двугранных углов:

1. Раскрытая книга. Две страницы или две части обложки книги являются гранями двугранного угла, а линия переплета (корешок) — его ребром. Угол, на который раскрыта книга, и есть величина этого двугранного угла.

2. Угол между стеной и полом. Плоскость стены и плоскость пола образуют двугранный угол. Их линия пересечения (вдоль плинтуса) является ребром этого угла. В большинстве зданий этот угол является прямым, то есть равен $90^\circ$.

3. Открытый ноутбук. Плоскость экрана и плоскость с клавиатурой являются гранями, а линия сгиба с шарнирами — ребром двугранного угла.

4. Приоткрытая дверь. Полотно двери и стена образуют двугранный угол. Ось, проходящая через дверные петли, служит ребром.

5. Двускатная крыша дома. Два ската крыши — это грани, а конек (линия их соединения наверху) — ребро двугранного угла.

6. Угловой шкаф или угол комнаты. Две смежные стены образуют двугранный угол, ребром которого является линия их стыка.

Ответ: Примерами двугранных углов в окружающей обстановке являются: угол между стеной и полом, угол между двумя стенами комнаты, раскрытая книга или ноутбук, приоткрытая дверь, двускатная крыша дома.

14.2. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, отмечена точка $A$ (рис. 14.16). Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 18 см. Чему равно расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла?

Рис. 14.16

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей граничной прямой (ребром) $c$. Величина этого угла равна $30^\circ$.

На одной из граней, например, на грани $\alpha$, отмечена точка $A$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $c$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $B$. Таким образом, точка $B$ лежит на ребре $c$, отрезок $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$, и $AB \perp c$. По условию, длина этого отрезка $AB = 18$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до другой грани, то есть до плоскости $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, точка $H$ лежит в плоскости $\beta$, и отрезок $AH \perp \beta$. Искомая величина — это длина отрезка $AH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$.

Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а отрезок $BH$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $H$, то $AH \perp BH$. Следовательно, треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHB = 90^\circ$).

В этом треугольнике $AB$ — наклонная к плоскости $\beta$, $AH$ — перпендикуляр, а $BH$ — проекция наклонной $AB$ на плоскость $\beta$.

По условию, наклонная $AB$ перпендикулярна ребру $c$ ($AB \perp c$). По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и ее проекция на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Значит, $BH \perp c$.

Угол между двумя гранями двугранного угла (линейный угол) измеряется углом между двумя лучами, проведенными в этих гранях перпендикулярно ребру из одной его точки. В нашем случае, $AB \perp c$ (в плоскости $\alpha$) и $BH \perp c$ (в плоскости $\beta$), и они исходят из одной точки $B$ на ребре. Следовательно, угол $\angle ABH$ и есть линейный угол двугранного угла, и его величина равна $30^\circ$.

Итак, в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ нам известны:

• гипотенуза $AB = 18$ см (катет $AH$ лежит напротив прямого угла);
• острый угол $\angle ABH = 30^\circ$.

Искомая длина $AH$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$.

Воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим $AH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH)$

Подставим известные значения:
$AH = 18 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$AH = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла равно 9 см.

Ответ: 9 см.

14.3. На одной из граней острого двугранного угла отмечена точка, расстояние от которой до другой грани равно $4\sqrt{3}$ см, а до ребра двугранного угла — 8 см. Какова величина данного двугранного угла?

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Пусть точка $A$ лежит в одной из граней, для определенности, в грани $\alpha$.

По условию задачи, расстояние от точки $A$ до другой грани, $\beta$, равно $4\sqrt{3}$ см. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $AB$ из точки $A$ на плоскость $\beta$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $4\sqrt{3}$ см, и $AB \perp \beta$.

Также по условию, расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $a$ равно 8 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Так как точка $A$ и ребро $a$ лежат в одной плоскости $\alpha$, перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$ также будет лежать в этой плоскости. Проведем перпендикуляр $AC$ из точки $A$ на прямую $a$, где точка $C$ лежит на ребре $a$. Таким образом, длина отрезка $AC$ равна 8 см, и $AC \perp a$.

Теперь рассмотрим три точки: $A$, $B$ и $C$. У нас есть наклонная $AC$ к плоскости $\beta$, ее перпендикуляр $AB$ к той же плоскости и проекция наклонной $BC$ на плоскость $\beta$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. В нашем случае, прямая $a$ в плоскости $\beta$ перпендикулярна наклонной $AC$ ($AC \perp a$). Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна и проекции $BC$. То есть, $BC \perp a$.

Величиной двугранного угла является его линейный угол, то есть угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной и той же точки на ребре. В нашем случае, отрезки $AC$ и $BC$ перпендикулярны ребру $a$ в точке $C$, и при этом $AC$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ — в грани $\beta$. Следовательно, угол $\angle ACB$ и есть линейный угол данного двугранного угла. Обозначим его величину как $\gamma$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а отрезок $BC$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $B$, то $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны:

• длина катета $AB = 4\sqrt{3}$ см (этот катет противолежит углу $\gamma$);
• длина гипотенузы $AC = 8$ см.

Для нахождения величины угла $\gamma$ можно использовать тригонометрическую функцию синус, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$ \sin(\gamma) = \frac{AB}{AC} $$ Подставляем известные значения: $$ \sin(\gamma) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

В условии сказано, что двугранный угол острый, следовательно, $0^\circ < \gamma < 90^\circ$. Угол в этом диапазоне, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

14.4. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $D$ (рис. 14.17). Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AB$ и $AC$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Из точки $D$ опустили перпендикуляры $DE$ и $DF$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 21$ см, $AC = 12$ см, $DF = 20$ см.

Рис. 14.17

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями α и β, которые пересекаются по прямой m (ребро двугранного угла). Точки A и D лежат в плоскости α.

По условию, из точки A опущен перпендикуляр AB на ребро m, значит $AB \perp m$. Также из точки A опущен перпендикуляр AC на плоскость β, значит $AC \perp \beta$.

Рассмотрим треугольник ABC. AC — перпендикуляр к плоскости β, AB — наклонная к плоскости β, а BC — проекция наклонной AB на плоскость β. Так как наклонная AB перпендикулярна прямой m, лежащей в плоскости β, то по теореме о трёх перпендикулярах её проекция BC также перпендикулярна прямой m ($BC \perp m$).

Угол, образованный двумя лучами AB и BC, перпендикулярными ребру m и лежащими в гранях двугранного угла, является линейным углом этого двугранного угла. Обозначим этот угол как φ, тогда $∠ABC = φ$.

Так как $AC \perp \beta$, то отрезок AC перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой BC. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом $∠ACB = 90°$.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла φ равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $sin(φ) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Аналогичные рассуждения проведем для точки D.

Из точки D опущен перпендикуляр DE на ребро m ($DE \perp m$) и перпендикуляр DF на плоскость β ($DF \perp \beta$). EF является проекцией наклонной DE на плоскость β.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как $DE \perp m$, то и $EF \perp m$. Следовательно, угол $∠DEF$ также является линейным углом того же двугранного угла, то есть $∠DEF = φ$.

Так как $DF \perp \beta$, то $DF \perp EF$, и треугольник DEF является прямоугольным с прямым углом $∠DFE = 90°$.

В прямоугольном треугольнике DEF синус угла φ равен: $sin(φ) = \frac{DF}{DE} = \frac{20}{DE}$.

Так как мы получили два выражения для синуса одного и того же угла, мы можем их приравнять: $\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE}$

Подставим известные значения: $\frac{12}{21} = \frac{20}{DE}$

Упростим левую часть: $\frac{4}{7} = \frac{20}{DE}$

Выразим DE: $DE = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Ответ: 35 см.

14.5. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $B$, удалённые от другой его грани на 14 см и 8 см соответственно. Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 42 см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $c$ (ребро двугранного угла). Пусть точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ равно 14 см. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $AC$, где $C$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда $AC \perp \beta$ и $AC = 14$ см.

Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $c$ равно 42 см. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$ в плоскости $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $AD$, где $D$ лежит на ребре $c$. Тогда $AD \perp c$ и $AD = 42$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а прямая $CD$ лежит в этой плоскости, следовательно, $AC \perp CD$. Таким образом, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $AD$.

Угол $\angle ADC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его как $\varphi$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ синус угла $\varphi$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$sin(\varphi) = \frac{AC}{AD} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим точку $B$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\beta$ равно 8 см. Проведем перпендикуляр $BE$ из точки $B$ на плоскость $\beta$, где $E$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда $BE = 8$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до ребра $c$. Проведем перпендикуляр $BF$ из точки $B$ на прямую $c$ в плоскости $\alpha$, где $F$ лежит на ребре $c$. Длина $BF$ и есть искомое расстояние.

Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрим треугольник $\triangle BEF$. Он также является прямоугольным ($BE \perp \beta$, значит $BE \perp EF$), а угол $\angle BFE$ является линейным углом того же двугранного угла, то есть $\angle BFE = \varphi$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BEF$ синус угла $\varphi$ равен:

$sin(\varphi) = \frac{BE}{BF}$

Так как $sin(\varphi) = \frac{1}{3}$ и $BE = 8$ см, мы можем найти $BF$:

$\frac{1}{3} = \frac{8}{BF}$

$BF = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла равно 24 см.

Ответ: 24 см.

14.6. Точка $B$ лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на $\sqrt{2}$ см и $\sqrt{3}$ см, а от ребра — на 2 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$, которая является ребром угла. Пусть точка $B$ находится внутри этого угла.

По условию задачи, нам даны расстояния от точки $B$ до граней и до ребра:

• Расстояние до грани $\alpha$ равно $\sqrt{2}$ см.
• Расстояние до грани $\beta$ равно $\sqrt{3}$ см.
• Расстояние до ребра $l$ равно 2 см.

Для нахождения величины двугранного угла необходимо построить и вычислить его линейный угол. Проведем следующие построения:

1. Опустим перпендикуляр $BA$ из точки $B$ на ребро $l$. Точка $A$ будет лежать на ребре $l$, и длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до ребра: $BA = 2$ см.
2. Опустим перпендикуляр $BC$ из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до грани $\alpha$: $BC = \sqrt{2}$ см.
3. Опустим перпендикуляр $BD$ из точки $B$ на плоскость $\beta$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до грани $\beta$: $BD = \sqrt{3}$ см.

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. $BA$ — это наклонная к плоскости $\alpha$, $BC$ — перпендикуляр к этой плоскости, а $AC$ — проекция наклонной $BA$ на плоскость $\alpha$. Так как наклонная $BA$ перпендикулярна ребру $l$ ($BA \perp l$), то и ее проекция $AC$ перпендикулярна ребру $l$ ($AC \perp l$).

Аналогично для плоскости $\beta$: $AD$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $\beta$. Так как $BA \perp l$, то и ее проекция $AD$ перпендикулярна ребру $l$ ($AD \perp l$).

Лучи $AC$ и $AD$ лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру $l$ в одной и той же точке $A$. Следовательно, угол $\angle CAD$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BAC$. Поскольку $BC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp AC$. Таким образом, $\triangle BAC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BA=2$ и катет $BC=\sqrt{2}$. Найдем синус угла $\angle CAB$:

$\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{BA} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из этого следует, что $\angle CAB = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BAD$. Поскольку $BD$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $AD$ лежит в этой плоскости, то $BD \perp AD$. Таким образом, $\triangle BAD$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $D$. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BA=2$ и катет $BD=\sqrt{3}$. Найдем синус угла $\angle DAB$:

$\sin(\angle DAB) = \frac{BD}{BA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что $\angle DAB = 60^\circ$.

Так как точка $B$ лежит внутри двугранного угла, его линейный угол $\angle CAD$ равен сумме углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$.

$\phi = \angle CAD = \angle CAB + \angle DAB = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$.

14.7. Точка $C$ лежит внутри двугранного угла. Угол между перпендикулярами, опущенными из точки $C$ на грани двугранного угла, равен $110^\circ$. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $l$. Точка $C$ находится внутри этого угла.

Пусть $CA$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $\alpha$ (где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$), а $CB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $\beta$ (где точка $B$ лежит в плоскости $\beta$).

Из условия задачи известно, что угол между этими перпендикулярами равен $110^{\circ}$. Это означает, что $\angle ACB = 110^{\circ}$.

По определению, перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим плоскость, содержащую перпендикуляры $CA$ и $CB$. Эта плоскость пересечет ребро двугранного угла, прямую $l$, в некоторой точке $O$. Точки $O, A, C, B$ лежат в одной плоскости и образуют плоский четырехугольник $OACB$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол — это угол, образованный двумя лучами, которые выходят из одной точки на ребре $l$ и перпендикулярны ему, при этом лучи лежат в гранях двугранного угла. В нашем случае это угол $\angle AOB$. Докажем это.

Так как $CA \perp \alpha$ и $l \subset \alpha$, то $CA \perp l$. Так как $CB \perp \beta$ и $l \subset \beta$, то $CB \perp l$. Поскольку прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CA$ и $CB$ из плоскости $OACB$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $l$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $OA$ и $OB$.

Таким образом, $OA \perp l$ и $OB \perp l$, а лучи $OA$ и $OB$ лежат в гранях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Значит, $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла.

Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$.

Поскольку $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CA \perp OA$. Следовательно, $\angle OAC = 90^{\circ}$.

Аналогично, поскольку $CB \perp \beta$, а прямая $OB$ лежит в плоскости $\beta$, то $CB \perp OB$. Следовательно, $\angle OBC = 90^{\circ}$.

Сумма углов плоского четырехугольника равна $360^{\circ}$. Для четырехугольника $OACB$ имеем: $$ \angle AOB + \angle OBC + \angle BCA + \angle CAO = 360^{\circ} $$

Подставим известные значения углов в это уравнение: $$ \angle AOB + 90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} $$ $$ \angle AOB + 290^{\circ} = 360^{\circ} $$ $$ \angle AOB = 360^{\circ} - 290^{\circ} $$ $$ \angle AOB = 70^{\circ} $$

Следовательно, искомый двугранный угол равен $70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$.

14.8. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.18).

1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $AB_1C_1$:

а) $\angle A_1AB$; б) $\angle A_1AB_1$; в) $\angle B_1DA$; г) $\angle B_1AB$; д) $\angle B_1DB$.

2) Найдите величину указанного двугранного угла.

Рис. 14.18

1)

Для определения линейного угла двугранного угла необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и в каждой из плоскостей провести перпендикуляры к этой линии в одной и той же точке. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым линейным углом.

В данном случае двугранный угол образован плоскостями $ABC$ (плоскость нижнего основания куба) и $AB_1C_1$.

1. Найдём линию пересечения (ребро) плоскостей $ABC$ и $AB_1C_1$.
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $B_1C_1$. Так как плоскость нижнего основания $ABC$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, то линия пересечения плоскости $AB_1C_1$ с плоскостью $ABC$ должна быть параллельна прямой $B_1C_1$. В кубе ребро $AD$ параллельно ребру $BC$, которое, в свою очередь, параллельно $B_1C_1$. Следовательно, линия, проходящая через точку $A$ и параллельная $B_1C_1$ — это прямая $AD$. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ABC$ и $AB_1C_1$ — это прямая $AD$.

2. Построим перпендикуляры к ребру $AD$ в точке $A$.
- В плоскости $ABC$ (нижнего основания) проведем прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку $A$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp AD$. - В плоскости $AB_1C_1$ проведем прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку $A$. Ребро куба $AD$ перпендикулярно всей грани $ABB_1A_1$ (поскольку $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости этой грани, включая диагональ $AB_1$. Прямая $AB_1$ принадлежит плоскости $AB_1C_1$. Значит, $AB_1 \perp AD$.

3. Определим линейный угол.
Линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $AB_1C_1$ — это угол между двумя построенными перпендикулярами $AB$ и $AB_1$. Этот угол — $\angle B_1AB$.

Среди предложенных вариантов это угол г) $\angle B_1AB$.

Ответ: г) $\angle B_1AB$.

2)

Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который мы определили в пункте 1) как $\angle B_1AB$. Найдем его величину.

Угол $\angle B_1AB$ является углом в треугольнике $\triangle ABB_1$, который лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $ABB_1A_1$ является квадратом. В квадрате все углы прямые, поэтому $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Стороны $AB$ и $BB_1$ равны как ребра одного куба.

Следовательно, треугольник $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при основании $AB_1$ в таком треугольнике равны между собой и вычисляются как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Таким образом, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Также можно найти угол, используя тригонометрические функции. Пусть ребро куба равно $a$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB_1$:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{|BB_1|}{|AB|} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда следует, что $\angle B_1AB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

14.9. Отрезок $AD$ — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника $ABC$ (рис. 14.19), точка $E$ — середина стороны $BC$. Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $BCD$:

1) $\angle ABD$; 2) $\angle AED$; 3) $\angle BAD$; 4) $\angle ACD$.

Рис. 14.19

Для того чтобы найти линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $BCD$, необходимо найти угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения этих плоскостей (ребру $BC$) из одной точки, причем один перпендикуляр должен лежать в плоскости $ABC$, а другой — в плоскости $BCD$.

1. Рассмотрим плоскость основания $ABC$. По условию, треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний), а точка $E$ — середина стороны $BC$. В правильном треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Следовательно, отрезок $AE$ (медиана) перпендикулярен стороне $BC$. Таким образом, мы нашли первый перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $ABC$: $AE \perp BC$.

2. Теперь рассмотрим второй перпендикуляр, который должен лежать в плоскости $BCD$. По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Это означает, что $AD$ — перпендикуляр, проведенный из точки $D$ к плоскости $ABC$, а отрезок $AE$ — это проекция наклонной $DE$ на плоскость $ABC$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.В нашем случае:

• $DE$ — наклонная к плоскости $ABC$.
• $AE$ — ее проекция на эту плоскость.
• $BC$ — прямая в плоскости $ABC$, проходящая через основание наклонной (точку $E$).

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AE$ (как мы выяснили в п.1), то по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной $DE$. То есть, $DE \perp BC$.

3. Мы установили, что $AE \perp BC$ и $DE \perp BC$. Оба перпендикуляра выходят из одной точки $E$ на ребре $BC$. По определению, угол между этими перпендикулярами, то есть $\angle AED$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BCD$.

Среди предложенных вариантов ответов это угол под номером 2.

Ответ: 2) $\angle AED$.