Номер 14.8, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.8. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.18).

1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $AB_1C_1$:

а) $\angle A_1AB$; б) $\angle A_1AB_1$; в) $\angle B_1DA$; г) $\angle B_1AB$; д) $\angle B_1DB$.

2) Найдите величину указанного двугранного угла.

Рис. 14.18

1)

Для определения линейного угла двугранного угла необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и в каждой из плоскостей провести перпендикуляры к этой линии в одной и той же точке. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым линейным углом.

В данном случае двугранный угол образован плоскостями $ABC$ (плоскость нижнего основания куба) и $AB_1C_1$.

1. Найдём линию пересечения (ребро) плоскостей $ABC$ и $AB_1C_1$.
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $B_1C_1$. Так как плоскость нижнего основания $ABC$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, то линия пересечения плоскости $AB_1C_1$ с плоскостью $ABC$ должна быть параллельна прямой $B_1C_1$. В кубе ребро $AD$ параллельно ребру $BC$, которое, в свою очередь, параллельно $B_1C_1$. Следовательно, линия, проходящая через точку $A$ и параллельная $B_1C_1$ — это прямая $AD$. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ABC$ и $AB_1C_1$ — это прямая $AD$.

2. Построим перпендикуляры к ребру $AD$ в точке $A$.
- В плоскости $ABC$ (нижнего основания) проведем прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку $A$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp AD$. - В плоскости $AB_1C_1$ проведем прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку $A$. Ребро куба $AD$ перпендикулярно всей грани $ABB_1A_1$ (поскольку $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости этой грани, включая диагональ $AB_1$. Прямая $AB_1$ принадлежит плоскости $AB_1C_1$. Значит, $AB_1 \perp AD$.

3. Определим линейный угол.
Линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $AB_1C_1$ — это угол между двумя построенными перпендикулярами $AB$ и $AB_1$. Этот угол — $\angle B_1AB$.

Среди предложенных вариантов это угол г) $\angle B_1AB$.

Ответ: г) $\angle B_1AB$.

2)

Величина двугранного угла равна величине его линейного угла, который мы определили в пункте 1) как $\angle B_1AB$. Найдем его величину.

Угол $\angle B_1AB$ является углом в треугольнике $\triangle ABB_1$, который лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $ABB_1A_1$ является квадратом. В квадрате все углы прямые, поэтому $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Стороны $AB$ и $BB_1$ равны как ребра одного куба.

Следовательно, треугольник $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при основании $AB_1$ в таком треугольнике равны между собой и вычисляются как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Таким образом, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Также можно найти угол, используя тригонометрические функции. Пусть ребро куба равно $a$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB_1$:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{|BB_1|}{|AB|} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда следует, что $\angle B_1AB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.