Номер 14.9, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.9. Отрезок $AD$ — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника $ABC$ (рис. 14.19), точка $E$ — середина стороны $BC$. Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $BCD$:

1) $\angle ABD$; 2) $\angle AED$; 3) $\angle BAD$; 4) $\angle ACD$.

Рис. 14.19

Для того чтобы найти линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям $ABC$ и $BCD$, необходимо найти угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения этих плоскостей (ребру $BC$) из одной точки, причем один перпендикуляр должен лежать в плоскости $ABC$, а другой — в плоскости $BCD$.

1. Рассмотрим плоскость основания $ABC$. По условию, треугольник $ABC$ — правильный (равносторонний), а точка $E$ — середина стороны $BC$. В правильном треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Следовательно, отрезок $AE$ (медиана) перпендикулярен стороне $BC$. Таким образом, мы нашли первый перпендикуляр к ребру $BC$ в плоскости $ABC$: $AE \perp BC$.

2. Теперь рассмотрим второй перпендикуляр, который должен лежать в плоскости $BCD$. По условию, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Это означает, что $AD$ — перпендикуляр, проведенный из точки $D$ к плоскости $ABC$, а отрезок $AE$ — это проекция наклонной $DE$ на плоскость $ABC$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.В нашем случае:

• $DE$ — наклонная к плоскости $ABC$.
• $AE$ — ее проекция на эту плоскость.
• $BC$ — прямая в плоскости $ABC$, проходящая через основание наклонной (точку $E$).

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AE$ (как мы выяснили в п.1), то по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной $DE$. То есть, $DE \perp BC$.

3. Мы установили, что $AE \perp BC$ и $DE \perp BC$. Оба перпендикуляра выходят из одной точки $E$ на ребре $BC$. По определению, угол между этими перпендикулярами, то есть $\angle AED$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $BCD$.

Среди предложенных вариантов ответов это угол под номером 2.

Ответ: 2) $\angle AED$.