Номер 14.5, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.5. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $B$, удалённые от другой его грани на 14 см и 8 см соответственно. Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 42 см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $c$ (ребро двугранного угла). Пусть точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$.

По условию, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ равно 14 см. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $AC$, где $C$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда $AC \perp \beta$ и $AC = 14$ см.

Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $c$ равно 42 см. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$ в плоскости $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $AD$, где $D$ лежит на ребре $c$. Тогда $AD \perp c$ и $AD = 42$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а прямая $CD$ лежит в этой плоскости, следовательно, $AC \perp CD$. Таким образом, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник с гипотенузой $AD$.

Угол $\angle ADC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его как $\varphi$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ синус угла $\varphi$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$sin(\varphi) = \frac{AC}{AD} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим точку $B$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\beta$ равно 8 см. Проведем перпендикуляр $BE$ из точки $B$ на плоскость $\beta$, где $E$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда $BE = 8$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до ребра $c$. Проведем перпендикуляр $BF$ из точки $B$ на прямую $c$ в плоскости $\alpha$, где $F$ лежит на ребре $c$. Длина $BF$ и есть искомое расстояние.

Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрим треугольник $\triangle BEF$. Он также является прямоугольным ($BE \perp \beta$, значит $BE \perp EF$), а угол $\angle BFE$ является линейным углом того же двугранного угла, то есть $\angle BFE = \varphi$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BEF$ синус угла $\varphi$ равен:

$sin(\varphi) = \frac{BE}{BF}$

Так как $sin(\varphi) = \frac{1}{3}$ и $BE = 8$ см, мы можем найти $BF$:

$\frac{1}{3} = \frac{8}{BF}$

$BF = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла равно 24 см.

Ответ: 24 см.