Номер 14.10, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 14. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14.10, страница 161.

Условие.

14.10. Прямоугольники $ABCD$ и $BCEF$ лежат в разных плоскостях (рис. 14.20), причём прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, если $AF = \sqrt{15}$ см, $CD = \sqrt{5}$ см.

Рис. 14.20

Решение.

Решение 2.

По условию, `ABCD` и `BCEF` – прямоугольники. Они лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону `BC`. Двугранный угол, грани которого содержат данные прямоугольники, – это двугранный угол между плоскостями `(ABC)` и `(BCEF)`. Линией пересечения этих плоскостей является прямая `BC`.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Линейный угол двугранного угла – это угол между двумя лучами, которые исходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны ребру.

Так как `ABCD` – прямоугольник, то `AB ⊥ BC`.
Так как `BCEF` – прямоугольник, то `BF ⊥ BC`.
Следовательно, угол `∠ABF` является линейным углом искомого двугранного угла. Наша задача – найти величину этого угла.

По условию, прямая `AF` перпендикулярна плоскости `ABC`. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что `AF` перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку `A`. В частности, `AF ⊥ AB`.

Это означает, что треугольник `△ABF` является прямоугольным с прямым углом при вершине `A` ($∠FAB = 90°$).

В прямоугольнике `ABCD` противоположные стороны равны, поэтому `AB = CD`. По условию `CD = √5` см, значит, `AB = √5` см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник `△ABF`. В нем известны длины двух катетов: `AF = √15` см и `AB = √5` см. Найдем тангенс угла `∠ABF`:

$tan(∠ABF) = \frac{AF}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен `√3`, составляет `60°`. Таким образом, `∠ABF = 60°`.

Так как `∠ABF` является линейным углом искомого двугранного угла, то величина этого двугранного угла равна `60°`.

Ответ: 60°.