Номер 14.7, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.7. Точка $C$ лежит внутри двугранного угла. Угол между перпендикулярами, опущенными из точки $C$ на грани двугранного угла, равен $110^\circ$. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $l$. Точка $C$ находится внутри этого угла.

Пусть $CA$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $\alpha$ (где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$), а $CB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $\beta$ (где точка $B$ лежит в плоскости $\beta$).

Из условия задачи известно, что угол между этими перпендикулярами равен $110^{\circ}$. Это означает, что $\angle ACB = 110^{\circ}$.

По определению, перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим плоскость, содержащую перпендикуляры $CA$ и $CB$. Эта плоскость пересечет ребро двугранного угла, прямую $l$, в некоторой точке $O$. Точки $O, A, C, B$ лежат в одной плоскости и образуют плоский четырехугольник $OACB$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол — это угол, образованный двумя лучами, которые выходят из одной точки на ребре $l$ и перпендикулярны ему, при этом лучи лежат в гранях двугранного угла. В нашем случае это угол $\angle AOB$. Докажем это.

Так как $CA \perp \alpha$ и $l \subset \alpha$, то $CA \perp l$. Так как $CB \perp \beta$ и $l \subset \beta$, то $CB \perp l$. Поскольку прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CA$ и $CB$ из плоскости $OACB$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $l$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $OA$ и $OB$.

Таким образом, $OA \perp l$ и $OB \perp l$, а лучи $OA$ и $OB$ лежат в гранях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Значит, $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла.

Теперь рассмотрим четырехугольник $OACB$.

Поскольку $CA \perp \alpha$, а прямая $OA$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CA \perp OA$. Следовательно, $\angle OAC = 90^{\circ}$.

Аналогично, поскольку $CB \perp \beta$, а прямая $OB$ лежит в плоскости $\beta$, то $CB \perp OB$. Следовательно, $\angle OBC = 90^{\circ}$.

Сумма углов плоского четырехугольника равна $360^{\circ}$. Для четырехугольника $OACB$ имеем: $$ \angle AOB + \angle OBC + \angle BCA + \angle CAO = 360^{\circ} $$

Подставим известные значения углов в это уравнение: $$ \angle AOB + 90^{\circ} + 110^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} $$ $$ \angle AOB + 290^{\circ} = 360^{\circ} $$ $$ \angle AOB = 360^{\circ} - 290^{\circ} $$ $$ \angle AOB = 70^{\circ} $$

Следовательно, искомый двугранный угол равен $70^{\circ}$.

Ответ: $70^{\circ}$.