Номер 14.2, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.2. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, отмечена точка $A$ (рис. 14.16). Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 18 см. Чему равно расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла?

Рис. 14.16

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей граничной прямой (ребром) $c$. Величина этого угла равна $30^\circ$.

На одной из граней, например, на грани $\alpha$, отмечена точка $A$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $c$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $c$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $B$. Таким образом, точка $B$ лежит на ребре $c$, отрезок $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$, и $AB \perp c$. По условию, длина этого отрезка $AB = 18$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до другой грани, то есть до плоскости $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, точка $H$ лежит в плоскости $\beta$, и отрезок $AH \perp \beta$. Искомая величина — это длина отрезка $AH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$.

Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а отрезок $BH$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $H$, то $AH \perp BH$. Следовательно, треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHB = 90^\circ$).

В этом треугольнике $AB$ — наклонная к плоскости $\beta$, $AH$ — перпендикуляр, а $BH$ — проекция наклонной $AB$ на плоскость $\beta$.

По условию, наклонная $AB$ перпендикулярна ребру $c$ ($AB \perp c$). По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и ее проекция на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Значит, $BH \perp c$.

Угол между двумя гранями двугранного угла (линейный угол) измеряется углом между двумя лучами, проведенными в этих гранях перпендикулярно ребру из одной его точки. В нашем случае, $AB \perp c$ (в плоскости $\alpha$) и $BH \perp c$ (в плоскости $\beta$), и они исходят из одной точки $B$ на ребре. Следовательно, угол $\angle ABH$ и есть линейный угол двугранного угла, и его величина равна $30^\circ$.

Итак, в прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ нам известны:

• гипотенуза $AB = 18$ см (катет $AH$ лежит напротив прямого угла);
• острый угол $\angle ABH = 30^\circ$.

Искомая длина $AH$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$.

Воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим $AH$:
$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH)$

Подставим известные значения:
$AH = 18 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$AH = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла равно 9 см.

Ответ: 9 см.