Номер 13.44, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.44. Медианы треугольника равны 6 см, 10 см и $4\sqrt{5}$ см. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами, связывающими длины сторон треугольника ($a, b, c$) с длинами его медиан ($m_a, m_b, m_c$), проведенных к этим сторонам.

Формулы для квадратов длин сторон:

$a^2 = \frac{4}{9}(2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2)$

$b^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2)$

$c^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2)$

По условию, длины медиан равны $6$ см, $10$ см и $4\sqrt{5}$ см. Вычислим квадраты их длин:

$m_1^2 = 6^2 = 36$
$m_2^2 = 10^2 = 100$
$m_3^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$

Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, мы должны показать, что квадраты его сторон удовлетворяют теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$). Для этого необходимо правильно сопоставить медианы сторонам. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Из приведенных выше формул следует, что чем меньше медиана, проведенная к стороне, тем больше сама сторона. Следовательно, наименьшая медиана должна быть проведена к гипотенузе.

Пусть $c$ — гипотенуза, тогда $m_c$ — наименьшая из медиан.

$m_c = 6$, следовательно $m_c^2 = 36$.

Две другие медианы, $m_a$ и $m_b$, проведены к катетам. Распределим их произвольно:

$m_a = 10$, следовательно $m_a^2 = 100$.
$m_b = 4\sqrt{5}$, следовательно $m_b^2 = 80$.

Теперь вычислим квадраты длин сторон треугольника:

$c^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2) = \frac{4}{9}(2 \cdot 100 + 2 \cdot 80 - 36) = \frac{4}{9}(200 + 160 - 36) = \frac{4}{9}(324) = 4 \cdot 36 = 144$.

$a^2 = \frac{4}{9}(2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2) = \frac{4}{9}(2 \cdot 80 + 2 \cdot 36 - 100) = \frac{4}{9}(160 + 72 - 100) = \frac{4}{9}(132) = \frac{528}{9} = \frac{176}{3}$.

$b^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2) = \frac{4}{9}(2 \cdot 100 + 2 \cdot 36 - 80) = \frac{4}{9}(200 + 72 - 80) = \frac{4}{9}(192) = \frac{768}{9} = \frac{256}{3}$.

Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора. Найдем сумму квадратов катетов $a^2$ и $b^2$:

$a^2 + b^2 = \frac{176}{3} + \frac{256}{3} = \frac{176 + 256}{3} = \frac{432}{3} = 144$.

Сравнивая полученную сумму с квадратом стороны $c$, видим, что $a^2 + b^2 = c^2$, так как $144 = 144$.

Поскольку сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник является прямоугольным.