Номер 13.38, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.38. Ребро $BD$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Отрезки $AK$ и $BP$ – биссектрисы треугольника $ABC$. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = 10$ см, $BC = 6$ см, $BD = 3\sqrt{5}$ см. Найдите угол между прямыми $AK$ и $DP$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AK$ и $DP$ воспользуемся векторно-координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$, так как $\angle ACB = 90^\circ$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, а ось $Oy$ — вдоль катета $CB$. Поскольку ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, прямая $BD$ будет параллельна оси $Oz$.

1. Нахождение координат вершин тетраэдра.
В основании лежит прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AC$:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.
Теперь определим координаты вершин:
$C(0, 0, 0)$
$A(8, 0, 0)$
$B(0, 6, 0)$
Так как $BD \perp (ABC)$, координаты точки $D$ по $x$ и $y$ совпадают с координатами точки $B$. Координата $z$ равна длине ребра $BD$. Примем, что точка $D$ расположена над плоскостью $ABC$.
$D(0, 6, 3\sqrt{5})$

2. Нахождение координат точек $K$ и $P$.
Точка $K$ лежит на отрезке $BC$ и $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. По свойству биссектрисы треугольника:
$\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Длина отрезка $BC$ равна 6. Тогда $CK = \frac{4}{4+5} \cdot BC = \frac{4}{9} \cdot 6 = \frac{8}{3}$.
Так как точка $K$ лежит на оси $Oy$, ее координаты: $K(0, 8/3, 0)$.
Точка $P$ лежит на отрезке $AC$ и $BP$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. По свойству биссектрисы треугольника:
$\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Длина отрезка $AC$ равна 8. Тогда $PC = \frac{3}{5+3} \cdot AC = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$.
Так как точка $P$ лежит на оси $Ox$, ее координаты: $P(3, 0, 0)$.

3. Нахождение угла между прямыми через векторы.
Угол между прямыми $AK$ и $DP$ найдем как угол между их направляющими векторами $\vec{AK}$ и $\vec{DP}$.
Найдем координаты векторов:
$\vec{AK} = \{x_K - x_A; y_K - y_A; z_K - z_A\} = \{0 - 8; 8/3 - 0; 0 - 0\} = \{-8; 8/3; 0\}$.
$\vec{DP} = \{x_P - x_D; y_P - y_D; z_P - z_D\} = \{3 - 0; 0 - 6; 0 - 3\sqrt{5}\} = \{3; -6; -3\sqrt{5}\}$.
Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле:
$\cos \alpha = \frac{\vec{AK} \cdot \vec{DP}}{|\vec{AK}| \cdot |\vec{DP}|}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\vec{AK} \cdot \vec{DP} = (-8) \cdot 3 + \frac{8}{3} \cdot (-6) + 0 \cdot (-3\sqrt{5}) = -24 - 16 = -40$.
Вычислим модули векторов:
$|\vec{AK}| = \sqrt{(-8)^2 + (8/3)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + \frac{64}{9}} = \sqrt{64 \cdot \frac{10}{9}} = \frac{8\sqrt{10}}{3}$.
$|\vec{DP}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-3\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 + 36 + 45} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
Теперь найдем косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{-40}{\frac{8\sqrt{10}}{3} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{-40}{8 \cdot 10} = \frac{-40}{80} = -\frac{1}{2}$.
Угол между векторами $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.
Угол между прямыми является острым углом, поэтому, если угол между векторами $\alpha > 90^\circ$, угол между прямыми $\phi$ равен $180^\circ - \alpha$.
$\phi = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.