Номер 13.31, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.31. Точка $M$ — середина ребра $CD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой $A_1M$ и плоскостью $CDD_1$, если $AD = 5$ см, $DC = 6$ см, $DD_1 = 4$ см.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$.

Точка $M$ является серединой ребра $CD$, а ребро $CD$ лежит в плоскости $CDD_1$. Следовательно, проекцией точки $M$ на плоскость $CDD_1$ является сама точка $M$.

Для нахождения проекции точки $A_1$ на плоскость $CDD_1$ опустим перпендикуляр из точки $A_1$ на эту плоскость. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковые ребра перпендикулярны основаниям, а смежные грани перпендикулярны. Грань $ADD_1A_1$ перпендикулярна грани $CDD_1C_1$. Ребро $A_1D_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и перпендикулярно линии их пересечения $DD_1$. Также $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $D_1C_1$. Так как $A_1D_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($DD_1$ и $D_1C_1$) в плоскости $CDD_1$, то $A_1D_1$ перпендикулярно всей плоскости $CDD_1$.

Таким образом, $D_1$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $CDD_1$. Прямая $D_1M$ является проекцией прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$. Искомый угол — это угол $\angle A_1MD_1$, который находится в треугольнике $\triangle A_1D_1M$.

Поскольку $A_1D_1 \perp (CDD_1)$, то $A_1D_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $D_1M$. Следовательно, треугольник $\triangle A_1D_1M$ — прямоугольный с прямым углом $\angle A_1D_1M$.

Найдём длины катетов этого треугольника.Катет $A_1D_1$ равен ребру $AD$, так как $ADD_1A_1$ — прямоугольник.$A_1D_1 = AD = 5$ см.

Катет $D_1M$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle DD_1M$, который лежит в грани $CDD_1C_1$. Угол $\angle D_1DM = 90^\circ$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$.Длина ребра $DD_1 = 4$ см.Точка $M$ — середина ребра $CD$, и $DC = 6$ см.Значит, $DM = \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.По теореме Пифагора для $\triangle DD_1M$:$D_1M^2 = DD_1^2 + DM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$D_1M = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1D_1M$ известны оба катета: $A_1D_1 = 5$ см и $D_1M = 5$ см.Найдём тангенс искомого угла $\angle A_1MD_1$:$\text{tg}(\angle A_1MD_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1D_1}{D_1M} = \frac{5}{5} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.Следовательно, искомый угол между прямой $A_1M$ и плоскостью $CDD_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.