Номер 13.30, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13.30, страница 151.

Условие.

13.30. Через вершину угла, равного $60^\circ$, проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите косинус угла, который образует эта прямая с плоскостью данного угла.

Решение.

Решение 2.

Пусть данный угол с вершиной в точке $O$ образован лучами $OA$ и $OB$. По условию, $\angle AOB = 60^\circ$. Через вершину $O$ проведена прямая $OC$, которая образует с каждой из сторон угла $OA$ и $OB$ угол в $60^\circ$. То есть, $\angle AOC = 60^\circ$ и $\angle BOC = 60^\circ$.

Нам нужно найти косинус угла $\phi$ между прямой $OC$ и плоскостью угла $AOB$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Для решения задачи выберем на лучах $OA$, $OB$ и $OC$ точки $A$, $B$ и $C$ соответственно, так, чтобы $OA = OB = OC = a$, где $a$ — некоторое положительное число.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$, $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$:

• В $\triangle AOB$: $OA = OB = a$ и $\angle AOB = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle AOB$ является равносторонним, и $AB = a$.
• В $\triangle AOC$: $OA = OC = a$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle AOC$ является равносторонним, и $AC = a$.
• В $\triangle BOC$: $OB = OC = a$ и $\angle BOC = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle BOC$ является равносторонним, и $BC = a$.

Таким образом, мы получили тетраэдр $OABC$, все рёбра которого равны $a$. Такой тетраэдр является правильным.

Найдём угол $\phi$ между ребром $OC$ и плоскостью основания $AOB$. Для этого опустим из точки $C$ перпендикуляр $CH$ на плоскость $AOB$. Тогда отрезок $OH$ будет проекцией отрезка $OC$ на плоскость $AOB$, а искомый угол $\phi$ будет равен углу $\angle COH$.

В правильном тетраэдре проекция вершины на основание совпадает с центром этого основания. Так как основание $\triangle AOB$ — равносторонний треугольник, его центром (точкой пересечения медиан, биссектрис и высот) является точка $H$.

Найдём длину проекции $OH$. В равностороннем треугольнике $AOB$ проведём медиану (она же высота и биссектриса) $OM$ к стороне $AB$. Длина медианы $OM$ равна:
$OM = OA \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Точка $H$, как центр треугольника, делит медиану $OM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $O$. Следовательно:
$OH = \frac{2}{3} OM = \frac{2}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OCH$ (где $\angle OHC = 90^\circ$). Косинус искомого угла $\phi = \angle COH$ равен отношению прилежащего катета $OH$ к гипотенузе $OC$:
$\cos(\phi) = \frac{OH}{OC} = \frac{a\sqrt{3}/3}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$