Номер 13.24, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.24. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$, причём $MB = AB$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $BMD$;

2) прямой $AM$ и плоскостью $BMD$.

Решение:

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = a$. По условию $MB = AB$, следовательно $MB = a$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $AC$ и $BD$.

1) прямой $AB$ и плоскостью $BMD$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Точка $B$ принадлежит как прямой $AB$, так и плоскости $BMD$. Следовательно, проекцией точки $B$ на плоскость $BMD$ является сама точка $B$.

Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $BMD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Так как отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MB \perp AC$.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $MB$, лежащим в плоскости $BMD$. Отсюда следует, что $AC \perp (BMD)$.

Поскольку $AC \perp (BMD)$, то отрезок $AO$ (часть $AC$) также перпендикулярен плоскости $BMD$. Следовательно, точка $O$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BMD$.

Проекция прямой $AB$ на плоскость $BMD$ — это прямая $BO$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $BO$, то есть $\angle ABO$.

В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то $\angle ABD = \angle ABO = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

2) прямой $AM$ и плоскостью $BMD$

Как установлено выше, проекцией точки $A$ на плоскость $BMD$ является точка $O$. Точка $M$ принадлежит плоскости $BMD$. Следовательно, проекцией прямой $AM$ на плоскость $BMD$ является прямая $OM$. Искомый угол — это угол между прямой $AM$ и ее проекцией $OM$, то есть $\angle AMO$.

Рассмотрим треугольник $AOM$. Поскольку $AO \perp (BMD)$, то $AO \perp OM$. Следовательно, $\triangle AOM$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

Найдем длины сторон $AO$ и $OM$.

В квадрате $ABCD$ со стороной $a$ длина диагонали $AC$ равна $a\sqrt{2}$. Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOM$. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB \perp BO$. Длина отрезка $BO = \frac{1}{2} BD$. Поскольку $BD = AC = a\sqrt{2}$, то $BO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для $\triangle BOM$: $OM^2 = MB^2 + BO^2$.

$OM^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$.

$OM = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $AOM$ (прямой угол при $O$) найдем $\tan(\angle AMO)$.

$\tan(\angle AMO) = \frac{AO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, $\angle AMO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$