Номер 13.19, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.19. Дана точка D такая, что прямые DA, DB и DC образуют с плоскостью правильного треугольника ABC углы по $45^\circ$. Найдите расстояние от точки D до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника ABC, если его сторона равна 6 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются проекциями наклонных $DA$, $DB$ и $DC$ на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. По условию, углы между прямыми $DA$, $DB$, $DC$ и плоскостью $ABC$ равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$ (они прямоугольные, так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$). У этих треугольников общий катет $DO$ и равные острые углы ($\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз $DA = DB = DC$ и равенство катетов $OA = OB = OC$. Равенство $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — правильный, точка $O$ также является его центром (центроидом и центром вписанной окружности).

Расстояние от точки $D$ до вершин — это длины отрезков $DA$, $DB$ и $DC$. Как мы установили, они равны. Найдем длину $DA$.

Сначала найдем радиус описанной окружности $R = OA$ для правильного треугольника со стороной $a = 6$ см.$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$. Мы знаем катет $OA = 2\sqrt{3}$ см и угол $\angle DAO = 45^\circ$. Можем найти гипотенузу $DA$:$\cos(\angle DAO) = \frac{OA}{DA} \implies DA = \frac{OA}{\cos(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Так как $DA = DB = DC$, расстояние от точки $D$ до каждой вершины треугольника равно $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

В силу симметрии, расстояния от точки $D$ до прямых $AB$, $BC$ и $CA$ равны. Найдем расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$. В правильном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также и высотой, поэтому $CM \perp AB$. Отрезок $OM$ является радиусом вписанной окружности $r$.$r = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим отрезок $DM$. Так как $DO \perp$ плоскости $ABC$, то $DO \perp AB$. Отрезок $OM$ — проекция наклонной $DM$ на плоскость $ABC$, и $OM \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $DM$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($DM \perp AB$). Следовательно, длина отрезка $DM$ и есть искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Найдем длину $DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle DOM$. Катет $OM = \sqrt{3}$ см. Найдем катет $DO$. Из $\triangle DOA$:$\tan(\angle DAO) = \frac{DO}{OA} \implies DO = OA \cdot \tan(45^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle DOM$:$DM^2 = DO^2 + OM^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$.$DM = \sqrt{15}$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно $\sqrt{15}$ см.

Ответ: $\sqrt{15}$ см.