Номер 13.17, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.17. Точка $M$ находится на расстоянии $12\text{ см}$ от каждой вершины квадрата $ABCD$, угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата равен $60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны квадрата.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, а $M$ — точка, находящаяся на расстоянии 12 см от каждой его вершины. Это означает, что $MA = MB = MC = MD = 12$ см.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата, ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата — точкой пересечения диагоналей $O$. Следовательно, $MO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABCD)$, а отрезки $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ являются проекциями наклонных $MA$, $MB$, $MC$, $MD$ соответственно.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол между наклонной $MA$ и ее проекцией $AO$. По условию, $\angle MAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$). Используя тригонометрические соотношения, найдем высоту $MO$ и проекцию $AO$:
Высота $MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
Проекция $AO = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Так как $O$ — центр квадрата, то $AO$ — это половина диагонали $AC$. Значит, вся диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Зная диагональ квадрата, найдем его сторону $a$. Для квадрата справедлива формула $d = a\sqrt{2}$, где $d$ — диагональ.
$12 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AD$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $AD$. Так как $O$ — центр квадрата, точка $K$ будет серединой стороны $AD$, а длина $OK$ будет равна половине стороны квадрата:
$OK = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Так как $MO \perp (ABCD)$, а проекция $OK$ наклонной $MK$ перпендикулярна прямой $AD$ ($OK \perp AD$), то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна $AD$ ($MK \perp AD$). Таким образом, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние.

Найдем $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора:
$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$
$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.