Номер 13.14, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13.14, страница 150.

Условие.

13.14. Из точки $B$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $BA$ и $BC$, образующие с данной плоскостью углы, равные $45^\circ$. Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если угол между наклонными равен $60^\circ$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра. Длина отрезка $BH$ является искомым расстоянием от точки $B$ до плоскости $\alpha$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $BH = h$.

$BA$ и $BC$ — наклонные, проведенные из точки $B$ к плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $C$ — основания наклонных. Отрезки $HA$ и $HC$ являются проекциями наклонных $BA$ и $BC$ на плоскость $\alpha$.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. По условию, эти углы равны $45^\circ$, следовательно, $\angle BAH = 45^\circ$ и $\angle BCH = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHA$ и $\triangle BHC$. Углы $\angle BHA$ и $\angle BHC$ являются прямыми, так как $BH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHA$: поскольку $\angle BAH = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Отсюда следует, что катеты равны: $HA = BH = h$. Длину гипотенузы (наклонной $BA$) можно найти, например, через синус угла:$BA = \frac{BH}{\sin(\angle BAH)} = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h\sqrt{2}$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$: поскольку $\angle BCH = 45^\circ$, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, $HC = BH = h$. Длина наклонной $BC$ также равна:$BC = \frac{BH}{\sin(\angle BCH)} = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = h\sqrt{2}$.

Таким образом, мы установили, что длины наклонных равны: $BA = BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$, образованный наклонными и отрезком, соединяющим их основания, является равнобедренным.

По условию задачи, угол между наклонными $\angle ABC = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle ABC$ равны: $BA = BC = AC$.

Из условия известно, что расстояние между основаниями наклонных равно $16$ см, то есть $AC = 16$ см.Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то $BA = BC = AC = 16$ см.

Теперь, зная длину наклонной $BA$, мы можем найти искомое расстояние $h$ из соотношения, полученного ранее:$BA = h\sqrt{2}$$16 = h\sqrt{2}$$h = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.