Номер 13.7, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.7. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (рис. 13.8), $AB = AM = 6$ см, $AC = 2\sqrt{3}$ см. Найдите угол, который образует с плоскостью $ABC$ прямая:

1) $MB$;

2) $MC$.

Рис. 13.8

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

По условию, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $ABC$, а точка $A$ — основание этого перпендикуляра.

Поскольку $MA \perp (ABC)$, то прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это значит, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Проекцией наклонной $MB$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Таким образом, угол, который образует прямая $MB$ с плоскостью $ABC$, — это угол $\angle MBA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$.

В $\triangle MAB$ нам известны длины катетов: $AM = 6$ см (противолежащий катет для $\angle MBA$) и $AB = 6$ см (прилежащий катет). Найдем тангенс этого угла: $ \tan(\angle MBA) = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6} = 1 $

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle MBA = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Проекцией наклонной $MC$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Угол, который образует прямая $MC$ с плоскостью $ABC$, — это угол $\angle MCA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAC$.

В $\triangle MAC$ нам известны длины катетов: $AM = 6$ см (противолежащий катет для $\angle MCA$) и $AC = 2\sqrt{3}$ см (прилежащий катет). Найдем тангенс этого угла: $ \tan(\angle MCA) = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} $

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle MCA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.