Страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.2. Из точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, образующая с данной плоскостью угол $50^\circ$. Чему равен угол между данными наклонной и перпендикуляром?

Пусть из некоторой точки $A$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$ к плоскости $\alpha$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра, а точка $M$ — основанием наклонной. Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью по определению — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае это угол $\angle AMH$. По условию задачи, он равен $50^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AHM$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $HM$ лежит в этой плоскости, то $AH \perp HM$. Следовательно, треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHM = 90^{\circ}$).

Искомый угол — это угол между наклонной $AM$ и перпендикуляром $AH$, то есть $\angle HAM$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Поэтому:

$\angle HAM + \angle AMH = 90^{\circ}$

Подставим известное значение $\angle AMH = 50^{\circ}$:

$\angle HAM + 50^{\circ} = 90^{\circ}$

Выразим искомый угол $\angle HAM$:

$\angle HAM = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$

Ответ: $40^{\circ}$.

13.3. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $MA$ и наклонная $MB$, образующая с плоскостью $\alpha$ угол $\varphi$. Найдите:

1) проекцию наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$, если расстояние от точки $M$ до этой плоскости равно $d$;

2) наклонную $MB$, если её проекция на плоскость $\alpha$ равна $a$.

Пусть $MA$ — перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к плоскости $\alpha$, $MB$ — наклонная, а $AB$ — проекция наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$. Тогда треугольник $MAB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MAB = 90^\circ$.

Угол между наклонной $MB$ и плоскостью $\alpha$ по определению равен углу между наклонной и её проекцией на эту плоскость, то есть $\angle MBA = \phi$.

1)

По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $d$. Это расстояние равно длине перпендикуляра $MA$, то есть $MA = d$. Требуется найти длину проекции $AB$.

В прямоугольном треугольнике $MAB$ катет $MA$ является противолежащим к углу $\phi$, а катет $AB$ — прилежащим. Связь между ними можно выразить через тангенс или котангенс:

$ \text{tg}(\phi) = \frac{MA}{AB} $

Отсюда выразим длину проекции $AB$:

$ AB = \frac{MA}{\text{tg}(\phi)} = MA \cdot \text{ctg}(\phi) $

Подставим известное значение $MA=d$:

$ AB = d \cdot \text{ctg}(\phi) $

Ответ: $ d \cdot \text{ctg}(\phi) $

2)

По условию, проекция наклонной на плоскость $\alpha$ равна $a$, то есть $AB = a$. Требуется найти длину наклонной $MB$.

В прямоугольном треугольнике $MAB$ катет $AB$ является прилежащим к углу $\phi$, а $MB$ — гипотенузой. Связь между ними выражается через косинус:

$ \cos(\phi) = \frac{AB}{MB} $

Отсюда выразим длину наклонной $MB$:

$ MB = \frac{AB}{\cos(\phi)} $

Подставим известное значение $AB=a$:

$ MB = \frac{a}{\cos(\phi)} $

Ответ: $ \frac{a}{\cos(\phi)} $

13.4. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведена наклонная. Чему равен угол между этой наклонной и плоскостью $\alpha$, если расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha:

1) равно проекции наклонной на плоскость $\alpha$;

2) в два раза меньше самой наклонной?

Пусть из точки A к плоскости α проведен перпендикуляр AH и наклонная AM. Тогда AH – это расстояние от точки A до плоскости α, HM – проекция наклонной AM на плоскость α. Треугольник AHM является прямоугольным с прямым углом H. Угол между наклонной и плоскостью – это угол φ между наклонной AM и ее проекцией HM, то есть ∠AMH.

1) По условию, расстояние от точки A до плоскости α равно проекции наклонной на плоскость α. Это означает, что катет AH равен катету HM.
$ AH = HM $
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHM. В нем тангенс угла φ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$ \tan(\phi) = \frac{AH}{HM} $
Так как $ AH = HM $, то:
$ \tan(\phi) = \frac{AH}{AH} = 1 $
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $ 45^\circ $.
Также можно заметить, что если в прямоугольном треугольнике катеты равны, то он является равнобедренным, и его острые углы равны по $ 45^\circ $.
Ответ: $45^\circ$

2) По условию, расстояние от точки A до плоскости α в два раза меньше самой наклонной. Это означает, что катет AH в два раза меньше гипотенузы AM.
$ AH = \frac{1}{2} AM $
В прямоугольном треугольнике AHM синус угла φ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$ \sin(\phi) = \frac{AH}{AM} $
Подставим условие задачи в формулу:
$ \sin(\phi) = \frac{\frac{1}{2} AM}{AM} = \frac{1}{2} $
Угол, синус которого равен $ \frac{1}{2} $, составляет $ 30^\circ $. Это также следует из свойства прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $ 30^\circ $, равен половине гипотенузы.
Ответ: $30^\circ$

13.5. Сколько наклонных, образующих с плоскостью $\alpha$ угол $40^\circ$, можно провести из точки $A$, не принадлежащей этой плоскости?

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $A$ — точка, не принадлежащая этой плоскости. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AO$ на плоскость $\alpha$. Точка $O$ является основанием перпендикуляра.

Любая наклонная, проведённая из точки $A$ к плоскости $\alpha$, будет отрезком $AB$, где точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью по определению — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае это угол $\angle ABO$. По условию задачи, этот угол должен быть равен $40^\circ$, то есть $\angle ABO = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, $AO \perp OB$, и треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике мы можем найти соотношение между катетами $AO$ (расстояние от точки до плоскости) и $OB$ (длина проекции наклонной):$tg(\angle ABO) = \frac{AO}{OB}$

Отсюда можно выразить длину проекции $OB$:$OB = \frac{AO}{tg(40^\circ)}$

Поскольку точка $A$ и плоскость $\alpha$ заданы, то расстояние от точки до плоскости $AO$ является постоянной величиной. Значение $tg(40^\circ)$ также является константой. Это означает, что длина проекции $OB$ для всех наклонных, образующих с плоскостью угол $40^\circ$, будет одной и той же.

Таким образом, все точки $B$ (основания наклонных) в плоскости $\alpha$ равноудалены от точки $O$ на расстояние $r = OB = \frac{AO}{tg(40^\circ)}$. Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, есть окружность. Значит, все точки $B$ лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Так как окружность состоит из бесконечного множества точек, то существует бесконечно много положений для точки $B$. Каждая такая точка $B$ определяет единственную наклонную $AB$, удовлетворяющую условию. Следовательно, из точки $A$ можно провести бесконечно много таких наклонных.

Совокупность всех этих наклонных образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке $A$, осью $AO$ и основанием в виде окружности в плоскости $\alpha$.

Ответ: можно провести бесконечно много таких наклонных.

13.6. Угол между прямой и плоскостью равен $35^\circ$. Может ли данная прямая образовать с некоторой прямой данной плоскости угол:
1) $30^\circ$;
2) $50^\circ$?

Пусть дана прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью по определению является углом $\phi$ между самой прямой $a$ и ее ортогональной проекцией $a'$ на плоскость $\alpha$. По условию задачи, $\phi = 35^\circ$.

Нам необходимо выяснить, какой угол $\theta$ может образовывать прямая $a$ с некоторой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$.

Угол $\phi$ между наклонной ($a$) и ее проекцией ($a'$) является наименьшим из всех возможных углов между этой наклонной и любой прямой, лежащей в плоскости проекции. Максимальный возможный угол равен $90^\circ$. Таким образом, угол $\theta$ между прямой $a$ и любой прямой $b$ из плоскости $\alpha$ должен находиться в пределах:

$ \phi \le \theta \le 90^\circ $

Подставляя данное значение $\phi = 35^\circ$, получаем, что для любой прямой $b$ в плоскости $\alpha$ угол $\theta$ между $a$ и $b$ должен удовлетворять неравенству:

$ 35^\circ \le \theta \le 90^\circ $

Теперь рассмотрим предложенные варианты.

1) 30°

Требуется проверить, может ли угол $\theta$ быть равен $30^\circ$. Сравним это значение с найденным диапазоном возможных углов.Поскольку $30^\circ < 35^\circ$, это значение не входит в допустимый диапазон $ [35^\circ, 90^\circ] $. Угол между наклонной и прямой в плоскости не может быть меньше угла между самой наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

Ответ: нет, не может.

2) 50°

Требуется проверить, может ли угол $\theta$ быть равен $50^\circ$. Сравним это значение с найденным диапазоном возможных углов.Поскольку $35^\circ \le 50^\circ \le 90^\circ$, это значение входит в допустимый диапазон. Следовательно, существует такая прямая в плоскости $\alpha$, которая образует с данной прямой угол $50^\circ$.

Ответ: да, может.

13.7. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (рис. 13.8), $AB = AM = 6$ см, $AC = 2\sqrt{3}$ см. Найдите угол, который образует с плоскостью $ABC$ прямая:

1) $MB$;

2) $MC$.

Рис. 13.8

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

По условию, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $ABC$, а точка $A$ — основание этого перпендикуляра.

Поскольку $MA \perp (ABC)$, то прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это значит, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Проекцией наклонной $MB$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$. Таким образом, угол, который образует прямая $MB$ с плоскостью $ABC$, — это угол $\angle MBA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAB$.

В $\triangle MAB$ нам известны длины катетов: $AM = 6$ см (противолежащий катет для $\angle MBA$) и $AB = 6$ см (прилежащий катет). Найдем тангенс этого угла: $ \tan(\angle MBA) = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6} = 1 $

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle MBA = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Проекцией наклонной $MC$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Угол, который образует прямая $MC$ с плоскостью $ABC$, — это угол $\angle MCA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAC$.

В $\triangle MAC$ нам известны длины катетов: $AM = 6$ см (противолежащий катет для $\angle MCA$) и $AC = 2\sqrt{3}$ см (прилежащий катет). Найдем тангенс этого угла: $ \tan(\angle MCA) = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} $

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle MCA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.8. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$ (рис. 13.9), сторона которого равна 6 см. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите угол между прямой $MO$ и плоскостью $ABC$, если $MA = 2$ см.

Рис. 13.9

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

По условию, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то есть $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $ABC$. Линия $MO$ — наклонная, а $AO$ — её проекция на плоскость $ABC$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle MOA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAO$. Так как $MA \perp (ABC)$, а прямая $AO$ лежит в этой плоскости, то $MA \perp AO$. Следовательно, треугольник $\triangle MAO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По условию, катет $MA = 2$ см. Найдем длину катета $AO$. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, поэтому отрезок $AO$ является радиусом описанной около этого треугольника окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В нашем случае $a = 6$ см, следовательно:

$AO = R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MAO$ тангенс угла $\angle MOA$ равен отношению противолежащего катета $MA$ к прилежащему катету $AO$:

$\tan(\angle MOA) = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle MOA = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

13.9. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ к плоскости $\alpha$ две равные наклонные $AB$ и $AC$, где $B$ и $C$ – точки на плоскости $\alpha$. По условию, $AB = AC$.

Требуется доказать, что углы, которые эти наклонные образуют с плоскостью $\alpha$, равны.

Доказательство:

1. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ – основание перпендикуляра.

2. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

3. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ – это $\angle ABH$, а угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ – это $\angle ACH$. Нам необходимо доказать, что $\angle ABH = \angle ACH$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

5. Сравним эти прямоугольные треугольники:

• $AB = AC$ (гипотенузы) по условию, так как наклонные равны.
• $AH$ – общий катет для обоих треугольников.

6. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по гипотенузе и катету.

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов: $\angle ABH = \angle ACH$.

Это и доказывает, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.

Ответ: Что и требовалось доказать.

13.10. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ две различные наклонные $AB$ и $AC$ к плоскости $\alpha$ (точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$).

Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию, углы, образованные наклонными с плоскостью, равны. Обозначим величину этих углов через $\beta$. Таким образом, $\angle ABH = \angle ACH = \beta$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ имеем:$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда можем выразить длину наклонной $AB$:$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{AH}{\sin\beta}$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ имеем:$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим длину наклонной $AC$:$AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} = \frac{AH}{\sin\beta}$

Сравнивая полученные выражения для длин наклонных $AB$ и $AC$, мы видим, что их правые части равны, так как $AH$ — общая высота, а углы $\beta$ равны по условию. Следовательно, равны и их левые части:

$AB = AC$.

Таким образом, доказано, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Ответ: Утверждение доказано, наклонные равны.