Страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.25. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. $12.15$), $AC = AD$, $\angle ACB = 90^\circ$, точка $M$ — середина ребра $BD$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $CD$.

Рис. $12.15$

Для построения сечения, проходящего через точку $M$ и перпендикулярного прямой $CD$, необходимо найти плоскость, удовлетворяющую этим условиям. Плоскость считается перпендикулярной прямой, если она содержит две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой.

Шаг 1. Анализ свойств тетраэдра и нахождение прямой, перпендикулярной CD

По условию задачи ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$ ($DA \perp (ABC)$). Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp AC$ и $DA \perp CB$.

Также по условию $\angle ACB = 90^\circ$, что означает $AC \perp CB$.

Таким образом, прямая $CB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $DA$. Прямые $AC$ и $DA$ лежат в плоскости $ADC$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $ADC$ ($CB \perp (ADC)$).

Поскольку прямая $CB$ перпендикулярна плоскости $ADC$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая прямую $CD$. Итак, мы установили важный факт: $CB \perp CD$.

Шаг 2. Построение плоскости сечения

Искомая плоскость сечения $\alpha$ должна проходить через точку $M$ и быть перпендикулярной $CD$.

1. В плоскости грани $BCD$ построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную $CD$. Поскольку $M$ — середина ребра $BD$, проведем через нее среднюю линию треугольника $BCD$. Для этого отметим точку $N$ — середину ребра $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией $\triangle BCD$, и по свойству средней линии $MN \parallel CB$. Так как мы доказали, что $CB \perp CD$, то и параллельная ей прямая $MN$ также будет перпендикулярна $CD$ ($MN \perp CD$).

2. Теперь найдем вторую прямую, перпендикулярную $CD$. Рассмотрим грань $ACD$. Мы знаем, что $DA \perp AC$ (из $DA \perp (ABC)$) и $AC=AD$ (по условию). Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $CD$. Точка $N$ — середина гипотенузы $CD$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, является также и высотой. Значит, $AN \perp CD$.

3. Мы получили две прямые, $MN$ и $AN$, которые пересекаются в точке $N$ и обе перпендикулярны прямой $CD$. Эти две прямые задают плоскость $(AMN)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, плоскость $(AMN)$ перпендикулярна прямой $CD$.

Поскольку точка $M$ принадлежит этой плоскости по построению, плоскость $(AMN)$ и является искомой плоскостью сечения.

Шаг 3. Описание построения сечения

Сечение тетраэдра плоскостью $(AMN)$ — это многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости с ребрами тетраэдра.

1. Точка $A$ — вершина тетраэдра, принадлежит плоскости сечения.

2. Точка $M$ лежит на ребре $BD$ и принадлежит плоскости сечения.

3. Точка $N$, построенная как середина ребра $CD$, принадлежит плоскости сечения.

Соединив эти три точки, мы получим треугольник $AMN$. Этот треугольник и есть искомое сечение.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Найти середину ребра $CD$ и обозначить ее точкой $N$.

2. Соединить отрезками точки $A$ и $M$.

3. Соединить отрезками точки $M$ и $N$.

4. Соединить отрезками точки $N$ и $A$.

Полученный треугольник $AMN$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $AMN$, где точка $N$ является серединой ребра $CD$.

12.26. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $DO$ и перпендикулярной прямой $AB$, и найдите площадь построенного сечения.

Построение сечения

По условию, тетраэдр $DABC$ — правильный, так как все его ребра равны $a$. Это означает, что все его грани, включая основание $ABC$, являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC$. Следовательно, $DO$ — высота тетраэдра, а точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$ (точка пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $DO$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

2. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DAB$ отрезок $DM$ является медианой и высотой. Следовательно, $DM \perp AB$.

3. Прямые $CM$ и $DM$ пересекаются в точке $M$ и обе перпендикулярны прямой $AB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, плоскость, проходящая через эти прямые (плоскость $DCM$), перпендикулярна прямой $AB$.

4. Проверим, проходит ли плоскость $DCM$ через прямую $DO$. Точка $D$ принадлежит этой плоскости. Точка $O$ является центром треугольника $ABC$ и лежит на его медиане $CM$. Следовательно, точка $O$ также принадлежит плоскости $DCM$. Поскольку две точки $D$ и $O$ прямой $DO$ лежат в плоскости $DCM$, то и вся прямая $DO$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, плоскость $DCM$ удовлетворяет обоим условиям задачи. Искомым сечением является треугольник $DCM$.

Нахождение площади построенного сечения

Площадь сечения — это площадь треугольника $DCM$. Найдем длины его сторон.

1. Сторона $DC$ является ребром тетраэдра, поэтому $DC = a$.

2. Сторона $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора:

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона $DM$ является высотой равностороннего треугольника $DAB$ со стороной $a$. Аналогично, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, сечение $DCM$ — это равнобедренный треугольник с основанием $DC=a$ и боковыми сторонами $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для вычисления площади треугольника $DCM$ можно использовать тот факт, что $DO$ является его высотой, проведенной к стороне $CM$. Так как $DO \perp (ABC)$ и прямая $CM$ лежит в плоскости $ABC$, то $DO \perp CM$.

Найдем длину высоты $DO$. Точка $O$ — центр треугольника $ABC$, она делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.

$CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$ (угол $\angle DOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$DO^2 = DC^2 - CO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

$DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $DCM$, используя основание $CM$ и высоту $DO$:

$S_{\triangle DCM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot DO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^2\sqrt{18}}{12} = \frac{a^2 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

12.27. Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на $3\sqrt{7}$ см. Найдите проекцию диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$, если $BD = 24$ см.

Пусть $ABCD$ — данный ромб. Обозначим точку пересечения его диагоналей как $O$. Согласно свойствам ромба, его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, $AC \perp BD$, а точка $O$ является серединой обеих диагоналей.

Из условия задачи известно, что диагональ $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как точка $O$ принадлежит диагонали $AC$, то и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$.

Длина диагонали $BD$ составляет 24 см. Поскольку $O$ — середина $BD$, мы можем найти длины отрезков $BO$ и $OD$:$BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $B'$ — это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина отрезка $BB'$ — это расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, которое по условию равно $3\sqrt{7}$ см. Так как $BB'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то угол $\angle BB'O$ — прямой, а треугольник $\triangle OBB'$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBB'$:

• $OB$ — гипотенуза, $OB = 12$ см.
• $BB'$ — катет, $BB' = 3\sqrt{7}$ см.
• $OB'$ — второй катет, который является проекцией отрезка $OB$ на плоскость $\alpha$.

Найдем длину катета $OB'$ по теореме Пифагора: $OB^2 = OB'^2 + BB'^2$.$OB'^2 = OB^2 - BB'^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 9 \cdot 7 = 144 - 63 = 81$.$OB' = \sqrt{81} = 9$ см.

Проекцией диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $B'D'$, где $B'$ и $D'$ — проекции точек $B$ и $D$ соответственно. Так как точка $O$ лежит на прямой $BD$ и является ее серединой, ее проекция (которая является самой точкой $O$, так как $O \in \alpha$) будет серединой проекции $B'D'$.Следовательно, длина всей проекции $B'D'$ равна удвоенной длине ее половины $OB'$:$B'D' = 2 \cdot OB' = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

12.28. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на $5$ см. Проекции отрезков $AB$ и $BC$ на плоскость $\alpha$ равны соответственно $12$ см и $15$ см, $AC = 9$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть $H$ – это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $BH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $B$ до плоскости, то есть $BH = 5$ см.

Так как сторона $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то проекциями отрезков $AB$ и $BC$ на эту плоскость будут отрезки $AH$ и $CH$ соответственно. По условию, $AH = 12$ см, $CH = 15$ см. Также дано, что $AC = 9$ см.

Рассмотрим треугольник $AHC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Проверим его на прямоугольность с помощью обратной теоремы Пифагора: $AC^2 + AH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $CH^2 = 15^2 = 225$. Поскольку $AC^2 + AH^2 = CH^2$, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Следовательно, $AC \perp AH$.

По определению перпендикуляра к плоскости, $BH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, значит, $BH \perp AC$. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AH$ и $BH$) плоскости $ABH$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $ABH$.

Поскольку отрезок $AB$ лежит в плоскости $ABH$, то из перпендикулярности $AC$ к этой плоскости следует, что $AC \perp AB$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BAC$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ нам нужны длины его катетов $AC$ и $AB$. Длина $AC$ известна. Длину $AB$ найдем из прямоугольного треугольника $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH \perp \alpha$). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = \frac{117}{2} = 58,5$ см².

Ответ: 58,5 см².

12.29. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Точка $M$ удалена от плоскости $ABC$ на 1 см, а от вершины $B$ — на 2 см. Известно, что прямые $MB$ и $AC$ перпендикулярны. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MH$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MH = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHB$ (угол $MHB$ прямой, так как $MH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $ABC$, в том числе и $HB$). По условию, расстояние от точки $M$ до вершины $B$ равно $MB = 2$ см. По теореме Пифагора:

$MB^2 = MH^2 + BH^2$

$2^2 = 1^2 + BH^2$

$4 = 1 + BH^2$

$BH^2 = 3$

$BH = \sqrt{3}$ см.

По условию, прямые $MB$ и $AC$ перпендикулярны. Отрезок $HB$ является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $ABC$. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MB$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($AC$), то и ее проекция ($HB$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $HB \perp AC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем высоту $BL$ к стороне $AC$. Так как треугольник равносторонний, высота $BL$ также является медианой и биссектрисой. По определению высоты, $BL \perp AC$.

Поскольку из точки $B$ к прямой $AC$ можно провести только один перпендикуляр в плоскости $ABC$, а мы имеем $HB \perp AC$ и $BL \perp AC$, то точка $H$ должна лежать на прямой $BL$.

Найдем длину высоты $BL$ равностороннего треугольника со стороной $a = 6$ см:

$BL = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Мы знаем, что точка $H$ лежит на прямой $BL$ и расстояние $BH = \sqrt{3}$ см. Возможны два случая расположения точки $H$ на прямой $BL$ относительно точек $B$ и $L$:

1. Точка $H$ лежит на отрезке $BL$.
2. Точка $B$ лежит на отрезке $HL$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $MK$, причем $MK \perp AC$.

Рассмотрим наклонную $MK$ и ее проекцию $HK$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $HK$ перпендикулярна прямой $AC$.

Так как точка $H$ лежит на прямой $BL$, а $BL \perp AC$, то перпендикуляром из точки $H$ к прямой $AC$ является отрезок $HL$. Это означает, что точка $K$ совпадает с точкой $L$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $ML$.

Найдем $ML$ из прямоугольного треугольника $MHL$ (угол $MHL$ прямой). По теореме Пифагора: $ML^2 = MH^2 + HL^2$. Мы знаем $MH = 1$ см. Длину $HL$ найдем для каждого из двух случаев.

Случай 1: Точка $H$ лежит на отрезке $BL$.
В этом случае расстояние $HL = BL - BH = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Тогда $ML^2 = 1^2 + (2\sqrt{3})^2 = 1 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13$.
$ML = \sqrt{13}$ см.

Случай 2: Точка $B$ лежит на отрезке $HL$.
В этом случае расстояние $HL = BL + BH = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Тогда $ML^2 = 1^2 + (4\sqrt{3})^2 = 1 + 16 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$.
$ML = \sqrt{49} = 7$ см.

Оба случая удовлетворяют всем условиям задачи, поэтому задача имеет два возможных решения.

Ответ: $\sqrt{13}$ см или 7 см.

12.30. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны 13 см, сторона $BC$ — 10 см. Точка $K$ удалена от плоскости $ABC$ на 8 см, а от вершины $A$ — на 10 см. Известно, что прямые $AK$ и $BC$ перпендикулярны.

Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC = 13$ см), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $BC$. $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$ (угол $AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $AM$: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. $AM = \sqrt{144} = 12$ см.

Пусть $H$ — проекция точки $K$ на плоскость $ABC$. Тогда $KH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $K$ до плоскости $ABC$, то есть $KH = 8$ см.

Отрезок $AH$ является проекцией отрезка $AK$ на плоскость $ABC$. Так как $KH \perp (ABC)$, то $KH \perp AH$, и треугольник $KHA$ является прямоугольным. По теореме Пифагора найдем длину проекции $AH$: $AH^2 = AK^2 - KH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. $AH = \sqrt{36} = 6$ см.

По условию, прямая $AK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AK \perp BC$). Так как $AH$ — проекция наклонной $AK$ на плоскость $ABC$, то по теореме о трех перпендикулярах, проекция $AH$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($AH \perp BC$).

Мы знаем, что высота $AM$ перпендикулярна $BC$. Поскольку из точки $A$ в плоскости $ABC$ можно провести только один перпендикуляр к прямой $BC$, то прямые $AM$ и $AH$ совпадают. Это означает, что точка $H$ лежит на отрезке $AM$.

Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $BC$. Обозначим этот перпендикуляр $KM$, где $M$ — точка на прямой $BC$. Таким образом, $KM \perp BC$.

Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $KM$ перпендикулярна прямой $BC$, то и ее проекция $HM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($HM \perp BC$).

Поскольку $H$ лежит на $AM$, и $HM \perp BC$, а также $AM \perp BC$, то точка $M$ является основанием высоты, проведенной из вершины $A$. Мы уже определили эту точку ранее.

Найдем длину отрезка $HM$. Так как точки $A, H, M$ лежат на одной прямой, то $HM = AM - AH = 12 - 6 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $KHM$. Так как $KH \perp (ABC)$, то $KH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, следовательно, $KH \perp HM$. Значит, треугольник $KHM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем искомое расстояние $KM$: $KM^2 = KH^2 + HM^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. $KM = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

12.31. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны 10 см, сторона $AC$ — 12 см. Точка $K$ удалена от каждой из прямых $AB$, $BC$ и $CA$ на 13 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $ABC$.

Пусть $O$ — проекция точки $K$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $KO$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $KO = h$.

Расстояние от точки $K$ до прямых, содержащих стороны треугольника, — это длины перпендикуляров, опущенных из точки $K$ на эти прямые. Пусть $M$, $N$ и $P$ — основания этих перпендикуляров на прямых $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, $KM = KN = KP = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KOM$, $\triangle KON$ и $\triangle KOP$. Они прямоугольные, так как $KO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости ($OM$, $ON$, $OP$). У этих треугольников общий катет $KO$ и равные гипотенузы ($KM=KN=KP=13$ см). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство других катетов: $OM = ON = OP$.

Точка $O$ в плоскости треугольника $ABC$ равноудалена от его сторон, следовательно, $O$ является центром вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а отрезки $OM$, $ON$, $OP$ — ее радиусами. Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Таким образом, $OM = r$.

Задача сводится к двум шагам: найти радиус $r$ вписанной окружности треугольника $ABC$, а затем из прямоугольного треугольника $\triangle KOM$ найти катет $KO$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$ треугольника $ABC$.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Стороны треугольника: $a=10$ см, $b=10$ см, $c=12$ см.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Найдем площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$

$S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Итак, $OM = r = 3$ см.

2. Найдем расстояние от точки $K$ до плоскости $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KOM$. В нем:

• $KM$ — гипотенуза, $KM = 13$ см (по условию).
• $OM$ — катет, $OM = r = 3$ см (как мы нашли).
• $KO$ — катет, искомое расстояние $h$.

По теореме Пифагора:

$KO^2 + OM^2 = KM^2$

$h^2 + 3^2 = 13^2$

$h^2 + 9 = 169$

$h^2 = 169 - 9 = 160$

$h = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Ответ: $4\sqrt{10}$ см.

12.32. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Точка $M$ удалена от каждой из прямых $AB$, $BC$ и $CA$ на 14 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Пусть $O$ - проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ есть длина перпендикуляра $MO$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $K$, $L$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на прямые $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. По условию задачи, точка $M$ удалена от каждой из этих прямых на 14 см, следовательно, длины наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ равны: $MK = ML = MN = 14$ см.

Отрезки $OK$, $OL$ и $ON$ являются проекциями наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ на плоскость $ABC$. Так как перпендикуляр $MO$ общий для прямоугольных треугольников $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$, а их гипотенузы $MK$, $ML$ и $MN$ равны, то и катеты $OK$, $OL$ и $ON$ также равны между собой: $OK = OL = ON$.

Поскольку точка $O$, лежащая в плоскости треугольника $ABC$, равноудалена от его сторон, она является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, поэтому его центр вписанной окружности совпадает с центром тяжести. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $OK = r$.

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника.

Подставим в формулу значение стороны $a = 6$ см: $r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см. Следовательно, $OK = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$. Катет $MO$ — это искомое расстояние, катет $OK = r = \sqrt{3}$ см, а гипотенуза $MK = 14$ см. По теореме Пифагора: $MK^2 = MO^2 + OK^2$

Выразим $MO^2$: $MO^2 = MK^2 - OK^2$ $MO^2 = 14^2 - (\sqrt{3})^2$ $MO^2 = 196 - 3$ $MO^2 = 193$ $MO = \sqrt{193}$ см.

Ответ: $\sqrt{193}$ см.

12.33. На ребре $AA_1$ и диагонали $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $K$ и $M$ так, что отрезок $KM$ — общий перпендикуляр прямых $AA_1$ и $B_1D$. Найдите отношение $B_1M : MD$, если $AB : AD = 1 : 2$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

По условию задачи $AB : AD = 1 : 2$. Давайте примем длину ребра $AB$ за $a$, тогда длина ребра $AD$ будет $2a$. Высоту параллелепипеда $AA_1$ обозначим как $h$. В выбранной системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $D(2a, 0, 0)$
• $B_1(0, a, h)$
• $A_1(0, 0, h)$

Точка $K$ расположена на ребре $AA_1$. Следовательно, ее координаты можно записать как $K(0, 0, z_K)$, где $0 \le z_K \le h$.

Точка $M$ лежит на диагонали $B_1D$. Прямую, содержащую эту диагональ, можно описать параметрически. Найдем направляющий вектор этой прямой:$\vec{B_1D} = (D_x - B_{1x}, D_y - B_{1y}, D_z - B_{1z}) = (2a - 0, 0 - a, 0 - h) = (2a, -a, -h)$.

Тогда любая точка $M$ на прямой $B_1D$ может быть представлена в виде:$M = B_1 + t \cdot \vec{B_1D}$ для некоторого скалярного параметра $t$.Координаты точки $M$ будут:$M(0 + t \cdot 2a, a + t \cdot (-a), h + t \cdot (-h)) = (2at, a(1-t), h(1-t))$.

Теперь найдем вектор $\vec{KM}$, соединяющий точки $K$ и $M$:$\vec{KM} = (M_x - K_x, M_y - K_y, M_z - K_z) = (2at - 0, a(1-t) - 0, h(1-t) - z_K)$.$\vec{KM} = (2at, a(1-t), h(1-t) - z_K)$.

По условию, отрезок $KM$ является общим перпендикуляром к прямым $AA_1$ и $B_1D$. Это означает, что вектор $\vec{KM}$ должен быть перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых. Это условие можно выразить через скалярное произведение векторов, которое должно быть равно нулю.

1. Условие $KM \perp AA_1$.Направляющий вектор прямой $AA_1$ можно взять как $\vec{u} = (0, 0, 1)$.$\vec{KM} \cdot \vec{u} = 0$$(2at) \cdot 0 + (a(1-t)) \cdot 0 + (h(1-t) - z_K) \cdot 1 = 0$$h(1-t) - z_K = 0 \implies z_K = h(1-t)$.

2. Условие $KM \perp B_1D$.Подставим найденное выражение для $z_K$ в вектор $\vec{KM}$:$\vec{KM} = (2at, a(1-t), h(1-t) - h(1-t)) = (2at, a(1-t), 0)$.Теперь используем условие перпендикулярности векторов $\vec{KM}$ и $\vec{B_1D}$:$\vec{KM} \cdot \vec{B_1D} = 0$$(2at, a(1-t), 0) \cdot (2a, -a, -h) = 0$$(2at)(2a) + (a(1-t))(-a) + (0)(-h) = 0$$4a^2t - a^2(1-t) = 0$$4a^2t - a^2 + a^2t = 0$$5a^2t - a^2 = 0$Поскольку $a$ - это длина ребра, $a \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a^2$:$5t - 1 = 0$$t = \frac{1}{5}$.

Параметр $t$ определяет положение точки $M$ на отрезке $B_1D$. В частности, он показывает, какую долю отрезка $B_1D$ составляет отрезок $B_1M$.Из векторного соотношения $M = B_1 + t \cdot \vec{B_1D}$ следует, что $\vec{B_1M} = t \cdot \vec{B_1D}$.Значит, длина отрезка $B_1M$ равна $t$ от длины всего отрезка $B_1D$:$|B_1M| = |t| \cdot |B_1D| = \frac{1}{5} |B_1D|$.Тогда длина оставшейся части, отрезка $MD$, составляет:$|MD| = |B_1D| - |B_1M| = |B_1D| - \frac{1}{5} |B_1D| = \frac{4}{5} |B_1D|$.

Теперь мы можем найти искомое отношение:$B_1M : MD = \frac{|B_1M|}{|MD|} = \frac{\frac{1}{5} |B_1D|}{\frac{4}{5} |B_1D|} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $1:4$.

12.34. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точка $M$ — середина ребра $AD$. На отрезках $DC$ и $BM$ отметили соответственно точки $E$ и $P$ так, что отрезок $EP$ — общий перпендикуляр прямых $DC$ и $BM$. Найдите отношение $MP : PB$, если $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle BAC = 30^\circ$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Поскольку ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ и $\angle ACB = 90^\circ$, мы можем направить оси координат вдоль ребер тетраэдра: ось $Ox$ — вдоль луча $CA$, ось $Oy$ — вдоль луча $CB$ и ось $Oz$ — вдоль луча $CD$.

Пусть длины ребер $AC = a$, $BC = b$ и $DC = h$. Тогда вершины тетраэдра имеют следующие координаты:$C(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $D(0, 0, h)$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$) по условию $\angle BAC = 30^\circ$. Отсюда следует соотношение между катетами:$\text{tg}(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a}$.Поскольку $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем $\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, что означает $a = b\sqrt{3}$.

Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Найдем ее координаты, используя формулу для координат середины отрезка:$M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right)$.

Точка $E$ лежит на отрезке $DC$, который совпадает с осью $Oz$. Следовательно, ее координаты $E(0, 0, z_E)$ для некоторого $z_E \in [0, h]$.
Точка $P$ лежит на отрезке $BM$. Чтобы найти ее координаты, зададим прямую $BM$ параметрически. Направляющий вектор прямой $\vec{BM}$ равен:$\vec{BM} = M - B = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - b, \frac{h}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right)$.Тогда координаты любой точки $P$ на отрезке $BM$ можно представить в виде:$\vec{P} = \vec{B} + t \cdot \vec{BM}$ для некоторого параметра $t \in [0, 1]$.$\vec{P} = (0, b, 0) + t\left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2}\right)$.

По условию, отрезок $EP$ является общим перпендикуляром к прямым $DC$ и $BM$. Это означает, что вектор $\vec{EP}$ перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых.
Найдем вектор $\vec{EP}$:$\vec{EP} = P - E = \left(\frac{at}{2} - 0, b(1-t) - 0, \frac{ht}{2} - z_E\right) = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2} - z_E\right)$.
Направляющий вектор прямой $DC$ (оси $Oz$) можно взять как $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Из условия $\vec{EP} \perp DC$ следует, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:$\vec{EP} \cdot \vec{k} = 0$
$\left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2} - z_E\right) \cdot (0, 0, 1) = 0$
$1 \cdot \left(\frac{ht}{2} - z_E\right) = 0 \implies z_E = \frac{ht}{2}$.
Теперь мы можем выразить вектор $\vec{EP}$ только через параметр $t$:$\vec{EP} = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), 0\right)$.

Из условия $\vec{EP} \perp BM$ следует, что $\vec{EP} \cdot \vec{BM} = 0$:$\left(\frac{at}{2}, b(1-t), 0\right) \cdot \left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right) = 0$
$\frac{at}{2} \cdot \frac{a}{2} + b(1-t) \cdot (-b) + 0 \cdot \frac{h}{2} = 0$
$\frac{a^2 t}{4} - b^2(1-t) = 0$
$\frac{a^2 t}{4} = b^2(1-t)$
$a^2 t = 4b^2 - 4b^2 t$
$t(a^2 + 4b^2) = 4b^2$
$t = \frac{4b^2}{a^2 + 4b^2}$.

Теперь используем соотношение $a = b\sqrt{3}$, или $a^2 = 3b^2$, чтобы найти числовое значение $t$:$t = \frac{4b^2}{3b^2 + 4b^2} = \frac{4b^2}{7b^2} = \frac{4}{7}$.

Параметр $t$ определяет, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $BM$. Из векторного равенства $\vec{P} = \vec{B} + t \cdot \vec{BM}$ следует, что $\vec{BP} = t \cdot \vec{BM}$. Соответственно, $\vec{PM} = \vec{BM} - \vec{BP} = (1-t)\vec{BM}$.
Искомое отношение длин отрезков $MP$ и $PB$ равно:$\frac{MP}{PB} = \frac{|(1-t)\vec{BM}|}{|t\vec{BM}|} = \frac{1-t}{t}$.
Подставляя найденное значение $t = 4/7$:$\frac{MP}{PB} = \frac{1 - 4/7}{4/7} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}$.
Следовательно, отношение $MP : PB$ равно $3:4$.

Ответ: $3:4$.