Номер 12.26, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.26. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $DO$ и перпендикулярной прямой $AB$, и найдите площадь построенного сечения.

Построение сечения

По условию, тетраэдр $DABC$ — правильный, так как все его ребра равны $a$. Это означает, что все его грани, включая основание $ABC$, являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC$. Следовательно, $DO$ — высота тетраэдра, а точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$ (точка пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $DO$ и перпендикулярна прямой $AB$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

2. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DAB$ отрезок $DM$ является медианой и высотой. Следовательно, $DM \perp AB$.

3. Прямые $CM$ и $DM$ пересекаются в точке $M$ и обе перпендикулярны прямой $AB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, плоскость, проходящая через эти прямые (плоскость $DCM$), перпендикулярна прямой $AB$.

4. Проверим, проходит ли плоскость $DCM$ через прямую $DO$. Точка $D$ принадлежит этой плоскости. Точка $O$ является центром треугольника $ABC$ и лежит на его медиане $CM$. Следовательно, точка $O$ также принадлежит плоскости $DCM$. Поскольку две точки $D$ и $O$ прямой $DO$ лежат в плоскости $DCM$, то и вся прямая $DO$ лежит в этой плоскости.

Таким образом, плоскость $DCM$ удовлетворяет обоим условиям задачи. Искомым сечением является треугольник $DCM$.

Нахождение площади построенного сечения

Площадь сечения — это площадь треугольника $DCM$. Найдем длины его сторон.

1. Сторона $DC$ является ребром тетраэдра, поэтому $DC = a$.

2. Сторона $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора:

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона $DM$ является высотой равностороннего треугольника $DAB$ со стороной $a$. Аналогично, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, сечение $DCM$ — это равнобедренный треугольник с основанием $DC=a$ и боковыми сторонами $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для вычисления площади треугольника $DCM$ можно использовать тот факт, что $DO$ является его высотой, проведенной к стороне $CM$. Так как $DO \perp (ABC)$ и прямая $CM$ лежит в плоскости $ABC$, то $DO \perp CM$.

Найдем длину высоты $DO$. Точка $O$ — центр треугольника $ABC$, она делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.

$CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$ (угол $\angle DOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$DO^2 = DC^2 - CO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

$DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $DCM$, используя основание $CM$ и высоту $DO$:

$S_{\triangle DCM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot DO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^2\sqrt{18}}{12} = \frac{a^2 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.