Номер 12.22, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.22. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать геометрический или векторный метод.

Способ 1 (геометрический)

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим прямую $BD$ в основании куба. Поскольку грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются параллельными квадратами, а ребра $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны им, то четырехугольник $BDD_1B_1$ — это прямоугольник. Следовательно, прямая $BD$ параллельна прямой $B_1D_1$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $A_1C$ и $BD$. Эти прямые также являются скрещивающимися, но мы можем доказать их перпендикулярность.

Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Прямая $A_1A$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, так как это ребро куба.

2. Отрезок $AC$ является проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость $ABCD$.

3. Прямая $BD$ лежит в плоскости $ABCD$.

4. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) на плоскость перпендикулярна прямой ($BD$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($A_1C$) перпендикулярна этой прямой.

Следовательно, $A_1C \perp BD$.

Поскольку $BD \parallel B_1D_1$, то $A_1C \perp B_1D_1$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Способ 2 (векторный)

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов:
$D(0, 0, 0)$
$A(a, 0, 0) \Rightarrow A_1(a, 0, a)$
$C(0, a, 0)$
$B(a, a, 0) \Rightarrow B_1(a, a, a)$
$D_1(0, 0, a)$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1C$ и $B_1D_1$.
Для прямой $A_1C$ направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{A_1C} = (0-a, a-0, 0-a) = (-a, a, -a)$.
Для прямой $B_1D_1$ направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{B_1D_1} = (0-a, 0-a, a-a) = (-a, -a, 0)$.

Угол $\theta$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot (-a) + (a) \cdot (-a) + (-a) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$, то $\cos \theta = 0$. Это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны).

Следовательно, угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.